为什么齐次线性方程组的基础解系向量组为n-r

发布网友发布时间：2022-05-27 09:42

共4个回答

热心网友时间：2023-10-15 01:07

因为把系数矩阵对角化以后，相关行向量对应的未知数为自由变量，令自由变量为不相关的向量时得到基础解，所以有几个自由变量，就可以得到几个基础解，而自由变量个数就是未知数的维数减去系数矩阵的秩。

例LZ提到的AX=0，因为化简后为（1 2 0；0 2 3；0 0 0），即rank(A)=2，所以基础解系中线性无关的向量个数就是3-2=1.也就是解空间的维数为1。

扩展资料

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

齐次线性方程组为aix+biy+ciz=0(i=1、2、3)组成的方程组，齐次线性方程组总有零解(x，y，z)=(0、0、0)，当系数行列式不等于零时，它只有零解，当系数行列式等于零时，有无穷多个非零解。

参考资料来源：百度百科-齐次线性方程组

热心网友时间：2023-10-15 01:07

注意基础解系的秩和系数矩阵的秩是两个概念，你的问题就是把这两者搞混了。
两者有一定关系：两者的和是未知数的维数。
这里就不给出严格证明了，如何理解，我简单地说一下：回顾一下基础解系是如何得来的？即把系数矩阵对角化以后，相关行向量对应的未知数为自由变量，令自由变量为不相关的向量时得到基础解。所以有几个自由变量，就可以得到几个基础解。而自由变量个数就是未知数的维数减去系数矩阵的秩。
举例：以LZ提到的AX=0，因为化简后为（1 2 0；0 2 3；0 0 0），即rank(A)=2，所以看第三行也就是x3不受影响，可以作为自由变量，给出一个赋值后得到了唯一的基础解。所以基础解系中线性无关的向量个数就是3-2=1.也就是解空间的维数为1.
同样对于n阶的如果rank(A)=m,则解空间维数就是n-m

热心网友时间：2023-10-15 01:07

这题基础解系的中所含线性无关的解向量个数是1啊
满足n-r啊

一般你把系数矩阵化为最简梯矩阵后，如果主列是前r列的话，我们可以直接用构造矩阵法来得到基础解系的解向量，构造的方法就是把主列与非主列隔开，零行与非零行隔开，得到右上交的一个列数为n-r的矩阵，构造时直接在它下方补一个n-r阶单位阵即可，显然，有n-r个解向量

主列不是前r列的话，我们也可以通过换列得到是在前r列

热心网友时间：2023-10-15 01:08

这个为什么很难说清楚，高代书上有的吧。因为n个变量减去r个秩
剩下的n减r就是基础解析，