发布网友 发布时间:2022-04-22 04:36
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热心网友 时间:2023-08-16 18:44
莫德尔猜想 1983年,联邦德国数学家伐尔廷斯证明了莫德尔猜想,从而翻开了费马大定理研究的新篇章.获得1982年菲尔兹奖 伐尔廷斯于1954年7月28日生于联邦德国的杰尔森柯琛,并在那里渡过了学生时代,而后就学于内斯涛德教授门下学习数学.1978年获得博士学位.他作过研究员、助教,现在是乌珀塔尔的教授.他在数学上的兴趣开始于交换代数,以后转向代数几何. 1922年,英国数学家莫德尔提出一个著名猜想,人们叫做莫德尔猜想.按其最初形式,这个猜想是说,任一不可约、有理系数的二元多项式,当它的“亏格”大于或等于2时,最多只有有限个解.记这个多项式为f(x,y),猜想便表示:最多存在有限对数偶xi,yi∈Q,使得f(xi,yi)=0. 后来,人们把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式,并且随着抽象代数几何的出现,又重新用代数曲线来叙述这个猜想了.因此,伐尔廷斯实际上证明的是:任意定义在数域K上,亏格大于或等于2的代数曲线最多只有有限个K一点. 数学家对这个猜想给出各种评论,总的看来是消极的. 1979年利奔波姆说:“可以有充分理由认为,莫德尔猜想的获证似乎还是遥远的事.” 对于“猜想”,1980年威尔批评说:“数学家常常自言自语道:要是某某东西成立的话,‘这就太棒了’(或者‘这就太顺利了’).有时不用费多少事就能够证实他的推测,有时则很快否定了它.但是,如果经过一段时间的努力还是不能证实他的预测,那么他就要说到‘猜想’这个词,既便这个东西对他来说毫无重要性可言.绝大多数情形都是没有经过深思熟虑的。”因此,对莫德尔猜想,他指出:我们稍许来看一下“莫德尔猜想”.它所涉及的是一个算术家几乎不会不提出的问题;因而人们得不到对这个问题应该去押对还是押错的任何严肃的启示. 然而,时隔不久,1983年伐尔廷斯证明了莫德尔猜想,人们对它有了全新的看法.在伐尔廷斯的文章里,还同时解决了另外两个重要猜想,即台特和沙伐尔维奇猜想,它们同莫德尔猜想具有同等重大意义. 这里主要解释一下莫德尔猜想,至于证明就不多讲了. 所谓代数曲线,粗略一点说,就是在包含K的任意域中,f(x,y)=0的全部解的集合. 令F(x,y,z)为d次齐次多项式,其中d为f(x,y)的次数,并使F(x,y,1)=f(x,y),那么f(x,y)的亏格g为 g≥(d-1)(d-2)/2 当f(x,y)没有奇点时取等号. 费马多项式x^n+y^n-1没有奇点,其亏格为(n-1)(n-2)/2.当n≥4时,费马多项式满足猜想的条件.因此,xn+yn=zn最多只有有限多个整数解. 为什么猜想中除去了f(x,y)的亏格为0或1的情形,即除去了f(x,y)的次数d小于或等于3的情形呢?我们说明它的理由. d=1时,f(x,y)=ax+by+c显然有无穷多个解. d=2时,f(x,y)可能没有解,例如f(x,y)=x2+y2+1;但是如果它有一个解,那么必定有无穷多个解.我们从几何上来论证这一点.设P是f(x,y)解集合中的一点,令l表示一条不经过点P的直线(见上图).对l上坐标在域K中的点Q,直线PQ通常总与解集合交于另一点R.当Q在l上取遍无穷多个K—点时,点R的集合就是f(x,y)的K—解的无穷集合.例如把这种方法用于x2+y2-1,给出了熟知的参数化解: 当F(X,Y,Z)为三次非奇异(即无奇点)曲线时,其解集合是一个所谓椭圆曲线.我们可用几何方法做出一个解的无穷集.但是,对于次数大于或等于4的非奇异曲线F,这种几何方法是不存在的.虽然如此,却存在称为阿贝尔簇的高维代数簇.研究这些阿贝尔簇构成了伐尔廷斯证明的核心. 伐尔廷斯在证明莫德尔猜想时,使用了沙伐尔维奇猜想、雅可比簇、高、同源和台特猜想等大量代数几何知识. 莫德尔猜想有着广泛的应用.比如,在伐尔廷斯以前,人们不知道,对于任意的非零整数a,方程y2=x5+a在Q中只有有限个