求二面角(过程详细,谢谢)

发布网友发布时间：2022-05-12 05:43

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热心网友时间：2023-11-22 22:30

1）添辅助线。过M作面BCD的垂线，交于H；过H作BD垂线，交于E；过C作BD垂线交于F；连接AC交BD与G。
2）求MH
因为PA垂直于底面，MH也垂直于底面，故PA//MH，即H与M、P、A共面，H与A、C共线，且H为CA的三分点。在ΔPAC中，由等比定理知CM/CP=MH/PA，故MH=PA*(CM/CP)=PA/3=1。
3）求HE
在ΔGCF中，由HE⊥BD及CF⊥BD知CF//HE，由等比定理知GH/GC=HE/CF。又CH=CA/3，矩形ABCD中CG=CA/2，故GH=GC/3，所以HE=CF*(GH/GC)=CF/3。而ΔBCD中SΔBCD=CB*CD/2=CF*BD/2，且BD=√(CB^2+CD^2)=3√5故CF=CB*CD/BD=6√5/5，HE=CF/3=2√5/5。
4）计算二面角M-BD-C
由于MH⊥BD，HE⊥BD，故BD⊥面MHE，故∠MEH为二面角M-BD-C。又在ΔMHE中，MH=1，EH=2√5/5，故tan∠MEH=MH/EH=√5/2，所以二面角M-BD-C=arctan√5/2