数字信号处理笔记4数字滤波器

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数字信号处理领域中，数字滤波器发挥着至关重要的作用，它们主要由差分方程描述，属于特殊离散时间系统。数字滤波器的核心运算仅包括信号的延时、乘以常数与相加，整个滤波器结构由三个基本运算单元构成：加法器、单位延时与乘以常数的乘法器。

数字滤波器的种类繁多，分类方法多样。按功能分类，它们分为低通、带通、高通与带阻滤波器；按实现方法，分为有限长冲激响应(FIR)与无限长冲激响应(IIR)滤波器；按设计方法，分为Chebyshev、Butterworth等经典滤波器与现代滤波器。现代滤波器专注于从噪声数据中提取信号特征或信号本身，优化后的信号信噪比通常更高。这类滤波器将信号与噪声视为随机信号，利用它们的统计特性设计最佳估值算法，实现硬件或软件中。

现代滤波器理论起源于维纳的工作，包括维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测器与自适应滤波器等。不同滤波器结构的特性、存储单元与乘法次数对复杂性和运算速度有直接影响。有限精度实现下，运算结构的误差与稳定性亦需考虑。设计优秀的滤波器结构应易于控制性能、便于模块化实现与时分复用。

IIR滤波器的单位冲激响应无限长，系统函数在有限长度Z平面上存在极点，结构中包含输出到输入的反馈。因果稳定的IIR滤波器极点位于单位圆内。IIR滤波器的类型包括直接型、级联型与并联型，其中直接型又分为直接I型与直接II型。

FIR滤波器的单位冲激响应在有限个n值处不为零，系统函数在Z平面上收敛，且极点全部位于z=0处，结构上多为非递归，部分结构可能包含递归反馈部分。FIR滤波器的类型有横截型、级联型、线性型、频率抽样型与轨迹卷积型。

IIR滤波器的设计方法包括模拟频率变换法、数字频率变换法、冲激不变法、双线性变换法与计算机辅助设计中的最优化技术，如最小均方误差法与最小误差设计法等。设计过程涉及确定系统函数并实现，需要考虑性能指标、线性时不变系统函数的逼近、有限精度算法实现、软硬件技术选择等。

滤波器设计流程主要包括任务分析、性能指标设定、系统函数逼近与实现选择等步骤，涉及运算结构、字长选择、有效数字处理与软硬件技术集成。IIR滤波器与模拟滤波器匹配性高，设计时多从模拟滤波器出发，通过复值映射变换为数字滤波器。

FIR滤波器设计则侧重于利用有限长脉冲响应特性，通过优化算法实现满足性能指标的滤波器结构，实现过程涉及选择运算结构、字长、处理方法以及软硬件技术的综合运用。