如图,P是长方形ABCD内一点,已知PA=3,PB=4,PC=5,那么PD 2 等于___

解答：解：如图，过P作AD、AB的平行线，原矩形被分成四个小矩形；由勾股定理得：PA2=a2+b2，PC2=c2+d2；PB2=b2+c2，PD2=a2+d2；因此：PA2+PC2=PB2+PD2，即：32+52=42+PD2，解得，PD2=18．

解：过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F，过P作BC的平行线分别交AB、CD于G、H．设AG=DH=a，BG=CH=b，AE=BF=c，DE=CF=d，则 AP2=a2+c2，CP2=b2+d2，BP2=b2+c2，DP2=d2+a2，于是AP2+CP2=BP2+DP2，又因为PA=3，PD=4，PC=5，故PB2=AP2+CP2-PD2=32+52-42=18，则PB...

解：如图，把△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACD，则AD=PA=3，CD=PB=4，∴△APD是等边三角形，∴PD=PA=3，∵PD2+CD2=32+42=25，PC2=52=25，∴PD2+CD2=PC2，由勾股定理逆定理得，△PCD是直角三角形，∴∠ADC=150°，S四边形APCD=S△APD+S△PCD=12×3×（3×32）+12×3×4=934+6...

如图，将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ADC，过C作CE⊥AD，交AD的延长线于E，连接PD，则AD=PA=3，DC=PB=4，∠PAD=∠BAC=60°，∴△PAD是等边三角形，∴PD=3，在△PDC中，∵PD2+DC2=32+42=25，PC2=52=25，∴PD2+DC2...

证明：过点P作EF⊥AD交AD于点E，BC于点F；过点P作GH⊥AB交AB于点G，CD于点H．则EA=BF，CH=PF，HP=DE．∴PA2+PC2=EA2+EP2+CH2+HP2 =BF2+EP2+PF2+DE2 =PB2+PD2故：PA2+PC2=PB2+PD2．以上的2都是平方

解：绕点C旋转△CPB，使CB与CA重合，点P与点Q重合，连接PQ 则∠PCQ=90°，∠PQC=45° 根据勾股定理，PQ=2根号2 在△APQ 中，AQ=1，AP=3，PQ=2根号2 根据勾股定理的逆定理，∠AQP=90° ∴∠BPC=∠AQC=135°

所以②正确；在△PBD中，PB=4，PD=3，由①得到BD=PC=5，∵32+42=52，即PD2+PB2=BD2，∴△PBD为直角三角形，且∠BPD=90°，由②得∠APD=60°，∴∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°，所以③正确；∵△ADB≌△APC，∴S△ADB=S△APC，∴S△APC+S△APB=S△ADB+S△APB=S△ADP+S...

如图，∵AP=4，AB=2，PC=CD，∴PB=AP+AB=6，PC=12PD．又∵PA?PB=PC?PD，∴4×6=12PD2，则PD=43．故答案是：43．

①证明：过点P作EF⊥AD交AD于点E，BC于点F；过点P作GH⊥AB交AB于点G，CD于点H．则EA=BF，CH=PF，HP=DE．∴PA2+PC2=EA2+EP2+CH2+HP2 =BF2+EP2+PF2+DE2 =PB2+PD2故：PA2+PC2=PB2+PD2

解答：解：如图，把△APC绕点C逆时针旋转90°得到△BDC，由旋转的性质得，△PCD是等腰直角三角形，BD=AP=1，∠APC=∠BDC，所以PD=2PC=22，∠PDC=45°，∵PD2+BD2=（22）2+12=9，PB2=32=9，∴PD2+BD2=PB2，∴△PBD是直角三角形，∠PDB=90°，∴∠BDC=90°+45°=135°，∴∠APC=1...