环与模(十四):商环
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发布时间：2024-10-22 07:17
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时间：2024-10-22 10:30
在环理论中，我们遇到一个重要概念——商环。它源于理想在环结构中的作用。假设 是环 R 的一个理想，对于环中的任意元素 a，陪集 {ra : r ∈ R} 的集合引人关注。
陪集具有显著的性质：对于所有 r, s ∈ R，我们有 ra + sa = (r+s)a，而 0a = 0。这表明陪集集合实际上构成了一个新的环，其中定义的运算为：
(ra)(sb) = (rs)a 和 1a = a（这里的 1 指的是环 R 的单位元）。
重要的是，要证明 ra = sa 仅当 r = s，这是因为 ra = sa 意味着 a ∈ ra，而由于 {ra} 是理想，我们有 ra = rRa，这就给出了 r = r 的结论。
进一步，我们可以验证这个新的集合——所有陪集的集合——满足环的性质。例如，结合律：对于所有 (ra)(sb) = (rs)a = (ra + sa)b = (r + s)ab，这表明陪集环的结合律成立。同时，零元素就是陪集 {0}，而当 R 是交换环时，商环也是交换的。
若 R 有单位元 1，那么陪集环 {ra} 也存在单位元 a，因为 1a = a。乘法逆元的性质同样适用，ra 在陪集环中的逆元是 a−1r−1，因为 (ra)(a−1r−1) = (ra−1)r−1 = 1。
让我们通过一个具体例子来说明：如果 I 是多项式环 Z[x] 上的一个理想，比如 I = (2, x)，那么 Z[x]/I 就是一个商环。实际上，映射 f: Z[x] → Z[x]/I，将多项式映射到它们在理想 I 下的等价类，是环同态，甚至可能是环同构。
在 Z[x]/I 中，元素个数的计算可以通过多项式系数的简化得到。例如，(x-1)Z[x] 这个理想下的陪集 {px - p : p ∈ Z}，由于 x-1 是 I 的生成元，每个多项式都可以写成 px - p 的形式，这意味着陪集集合有无限个元素，但每个元素都等价于 0 或者 1（因为 (x-1)0 = 0 和 (x-1)1 = x-1 = 1）。
然而，当我们讨论 1/(x-1) 的运算，例如 (x-1)/(x-1) 在 Z[x]/I 中的运算，结果仍是 1，因为 (x-1) 的等价类的乘积仍是 (x-1) 的等价类。
最后，我们注意到一个关键的推论：如果 h: R → S 是一个环同态，且其核 Ker(h) 等于理想 I，那么 I 必定是 R 的理想，这是由环同态性质和前面讨论的陪集环结构联系起来的。
