样本方差为什么是n-1分之一?
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发布时间：2022-05-07 17:35
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时间：2022-06-30 21:44
在容量为N的总体中，假设我们已经通过随机抽样的方式获得了一份容量为n的样本数据。现在我们有两个任务需要完成：一是归纳样本本身这n个数据之间的分布状况；二是借助该样本来推测总体的分布状况，亦即尝试以局部推测总体、以偏概全。
出于简便的考虑，我们经常仅仅借助均值和方差这两个指标来简略地描述样本或总体的分布状况。则对于第一项任务而言，为准确描述样本数据间的离散程度，样本方差计算公式中的除数应为"n”。类似地，为准确描述总体数据间的离散程度，总体方差计算公式中的除数应为"N”。
然而，如果我们准备借助样本方差来推测总体的方差，则可以证明：以"n”为除数的样本方差计算公式不是总体方差的无偏估计值计算式，而只有以"n-1”为除数的样本方差计算公式才是总体方差的无偏估计值计算式。因此在推断统计领域，样本方差计算式的除数应为"n-1”，而不应为"n”。
当然，在n足够大的时候，样本方差这两种计算方法之间的差异可以忽略不计。
最后，我将上述阐述归纳如下：
1. 设若总体数据已知，则该总体的数字特征不存在推测的问题，只存在描述的问题，是故总体方差计算公式中的除数应为"N”。
2. 以"n-1”为除数的样本方差计算公式是总体方差的无偏估计值计算式。
3. 以"n”为除数的样本方差计算公式是总体方差的渐近无偏估计值计算式。
4. 如果只是要描述样本数据间的离散程度，则样本方差计算公式中的除数应为"n”。
5. 当n足够大的时候，不必太在意样本方差计算公式中除数的这两种不同的选择。
6. 在多数场合，习惯上总是采用以"n-1”为除数的样本方差计算方式。
论证如下：
向左转|向右转
向左转|向右转
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时间：2022-06-30 21:44
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时间：2022-06-30 21:45
样本方差与样本均值，都是随机变量，都有自己的分布，也都可能有自己的期望与方差（由此进一步讨论估计量的无偏性与有效性）。取分母n-1，可使样本方差的期望等于总体方差，即这种定义的样本方差是总体方差的无偏估计。
这样看，x1,x2,...xn是n个可以自由变化的样本，互不影响。
而x1-xbar, x2-xbar,...xn-xbar是否也是n个自由变化的呢？不是……因为这n个统计量受到一个约束条件的影响就是之和等于0。如果我们记 yi=xi-xbar,也就是说y1+y2+...yn=0,这样我们可以任意变动其中n－1值，比如取定了y1,y2,...y(n-1)，那么yn就不能任意变化，yn=-(y1+y2+y(n-1))。
这个只是从自由变化的角度直观解释，实际上证明分布比较烦琐……
举个例子：
比如说让十跟人任意取十个数,很容易理解可以随便取.十个都是自由的.
如果我加一个条件,十个人取十个数,但是这是个书加起来必须得零.第一个人可以随便取,第二个人也可以,第九个也可以,都是自由的,但是第十个人不能随便自由取,只能取特定的数,才能保证这十个数的和是零.所以加了一个条件就丢了一个自由度
由于有一个约束条件，所以最后一个变量不能随便取。为了满足这个约束条件，第n个变量不能随机取值，它的值由前n-1个变量确定了。问题是：虽然第n个变量不能随机取，假设取10以满足约束条件，但10与均值的离差仍然存在。分子中，包括了这个离差平方，但分母却不考虑它。
是不是可以这样理解：按照方差的“定义”，分母仍应取n。只是为了保证无偏性，对样本方差进行调整。通过计算，分母应当取n-1。这时的方差实际是“调整后的样本方差”，只不过我们仍将它叫做“样本方差”。
用样本去估计总体，当然就要评估估计的好坏如何。第一个评估方面就是先要评估这个估计是有偏估计还是无偏估计，无偏估计更为有效。除以n所得到的样本方差虽然也是总体方差的估计量，但是不是无偏估计量，而除以n-1所得到的样本标准方差则是无偏估计量。正因为除以n-1所得到的样本标准方差是总体的无偏估计，所以它更科学点，误差小些。之所以选择n-1，不是巧合，而是数学推导下的结果。
摘自ITPUB bestsong的博文：为什么样本方差的分母为n-1而不是n？
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时间：2022-06-30 21:45
