机器人理论基础:相似变换与连续旋转的左乘/右乘

发布网友发布时间：2024-10-20 18:37

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热心网友时间：2024-11-14 05:29

在机器人运动学领域，空间坐标变换的掌握是核心内容之一，而相似变换则是理解这些变换的基础。相似变换本质上与矩阵相似相关，即当两个矩阵在特定可逆矩阵的转换下，可以被认为是等价的，或者说它们表示的是相同的线性变换。数学上，定义了若存在可逆矩阵B，使得A = B^(-1) * C * B，则矩阵C与A是相似的。在机器人运动学中，线性变换（如旋转）在不同坐标系下会有不同的表示形式，但它们之间存在一种关系，这种关系与坐标系间的相对姿态有关。

具体来说，假设我们有一个给定的线性变换在坐标系X下的表示矩阵A，以及在另一个坐标系Y下的表示矩阵B，那么A和B虽然在形式上不同，但它们都表示在两个坐标系下相同的线性变换，即把空间中的点或向量从一个坐标系映射到另一个坐标系。这是通过矩阵的相似性概念直观理解的。

旋转的叠加涉及到多个旋转矩阵的组合，这在机器人学中尤为关键。旋转矩阵至少有三种解释：坐标系绕自身轴旋转、坐标系相对另一坐标系的旋转和坐标系相对于当前坐标系的连续旋转。对于两次旋转的叠加，例如坐标系X相对于坐标系Y旋转角度α，然后坐标系Y相对于坐标系Z旋转角度β，可以通过计算旋转矩阵的乘积来表示这个复合旋转。这个乘积遵循后乘（postmultiply）原则，即先执行第二个旋转，然后执行第一个旋转。

相对于当前坐标系的连续旋转和相对于固定坐标系的连续旋转的区别在于旋转顺序。在后一种情况下，旋转顺序会改变旋转矩阵的计算方式，这体现为前乘（premultiply）原则，即先执行第一个旋转，然后执行第二个旋转。当涉及到三次或更多次连续变换时，这些变换可以分解为两两组合的变换，前乘和后乘原则同样适用。

绕任意轴的旋转是旋转的一种特殊形式，尽管它可以通过多种方法推导，但使用相似变换的概念可以直接得出其通式。通过理解相似变换，可以更容易地掌握和应用绕任意轴旋转的概念，为更复杂的空间变换和机器人运动学问题提供坚实的数学基础。