...2,……,n所得的余数之和,证明存在无穷多个正整数n使得r(n)=r(n...
发布网友
发布时间：2024-10-19 11:36
共1个回答
热心网友
时间：2024-11-29 22:38
∵n//1=n//n=0，∴r(n)=n//2+n//3+...+n//(n-1)
下面我们证明对任意n=2^m，m≥1，均有r(n)=r(n-1)
设n=2^m，则r(n)=n//2+n//3+...+n//(n/2)+n//(n/2+1)+...+n//(n-1)
=n//2+n//3+...+n//(n/2)+(n/2-1)+(n/2-2)+...+1 .............①
注意当n//a≠0时，则有A和r，使得n=aA+r，这里1≤r<a
∴n-1=aA+r-1，这里0≤r-1<a，∴(n-1)//a=r-1=n//a-1
∴减去n//a=0的项，即a为2的幂次方的项（一共除掉m-1项）
①式=[(n-1)//3+1]+[(n-1)//5+1]+ ... +[(n-1)//(n/2-1)+1]+(n/2-1)+(n/2-2)+...+1 .....②
（这里[ ]里一共加了(n/2-1)-(m-1)=n/2-m个1）
∴②式=n/2-m+(n-1)//3+(n-1)//5+...+(n-1)//(n/2-1)+(n/2-1)+(n/2-2)+...+1 ....③
又∵n-1=2^m-1=2^k（2^(m-k)-1）+2^k-1，∴(n-1)//2^k=2^k-1，这里1≤k≤m-2
再注意到(2-1)+(2^2-1)+...+(2^(m-2)-1)=(2^(m-1)-2)-(m-2)=n/2-m
且n/2-j=(n-1)//(n/2+j-1)，∴(n/2-1)+(n/2-2)+...+1=(n-1)//(n/2)+(n-1)//(n/2+1)+...+(n-1)//(n-2)
∴③式=(n-1)//2+(n-1)//3+...+(n-1)//(n/2-1)+(n-1)//(n/2)+(n-1)//(n/2+1)+...+(n-1)//(n-2)
=r(n-1)。
由此证明了对任意n=2^m,m≥1,均有r(n)=r(n-1)，即存在无穷多个正整数n使得r(n)=r(n-1)
