如何证明cos(α+β)=cosα·cos-sinα·sinβ

发布网友发布时间：9小时前

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热心网友时间：2024-10-22 04:58

设单位向量a(cosα,sinα)以及单位向量b(cosβ,sinβ)
由于b与a向量夹角为α-β，则有
ab=|b||a|cos(α-β)=cos(α-β),带入坐标可得
cos(α-β)=cosαcosβ+sinβsinα ①
令①式中的-β=β则有
cos(α+β)=cosαcos(-β)+sin(-β)sinα
由诱导公式易得
cos(α+β)=cosαcos-sinαsinβ
得证

不懂再问，For the lich king

热心网友时间：2024-10-22 04:59

设α，β是锐角，作直径AB=1的圆O，C，D是位于AB两侧的圆周上的两点，连结CD，由托勒密定理有
CD•AB=BC•AD＋AC•BD． (*)
(1)设∠CAB=α，∠DAB=β，
则AC=cosα，BC=sinα AD=cosβ，BD=sinβ，CD=sin(α＋β)，代入(*)得
sin(α＋β)=sinαcosβ＋cosαsinβ，(1)
(2)设∠CAB=α，∠DBA=β，α≥β，AC=cosα，BC=sinα，AD=sinβ，BD=cosβ，CD=cos(α－β)，
代入(*)得
cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ，(2)

由诱导公式易见(1)，(2)对任意角α，β都成立，若用－β替换(1)，(2)中的β，则可得
sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ，(3)
cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ．(4)