已知函数f(x)=x^2-(2a+1)x+aInx 求函数f(x)在[1,e]上的最小值
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发布时间：2024-10-01 07:46
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时间：2024-12-03 07:42
f'(x)=2x-(2a+1)+a/x
令f'(x)=0
即2x+a/x=2a+1
2x^2+a=(2a+1)x
2x^2-(2a+1)x+a=0
△=[-(2a+1)]^2-8a
=4a^2+4a+1-8a
=4a^2-4a+1
=(2a-1)^2
x=[(2a+1)±(2a-1)]/4
x1=a
x2=1/2
①当a=1/2时 只有一个解x=1/2
此时f'(x)=2x+1/(2x)-2
列表省略……
在(0,1/2)上增
在(1/2,+∞)上增
则在[1，e]上最大值为f(e)
f(e)=e^2-2e+1/2
②当a<1/2时
(只要判断在(1/2,+∞)上的正负即可)
取x=1
此时f'(x)=2-2a-1+a
=1-a>0
则最大值为f(e)
f(e)=e^2-(2a+1)e+a
③当1/2<a<1时
在 (1/2,+∞) 上取x=1
与2一样，最大值为
f(e)=e^2-(2a+1)e+a
④当1<a<e时
在 (1/2,+∞) 上 取x=1
f'(x)=2-2a-1+a
=1-a<0
为减
则最大值为f(1)
f(1)=1-2a-1+a=-a
⑤当e<a时
仍然取1
与4情况一样
总结：
在a=1/2时，最大值为e^2-2e+1/2
在a∈(0,1/2)∪(1/2,1)时，最大值为e^2-(2a+1)e+a
在a>1时，最大值为-a
