若函数y=f(x)对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y)
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发布时间：2024-09-29 23:38
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时间：2024-10-04 05:46
∵函数y＝f(x)对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
那么取x=y=0，有f(0)＝f(0)＋f(0)
即f(0)=0
再取y=-x,有f(x+y)＝f(x-x)=f(0)=f(x)＋f(-x)=0
即f(-x)=-f(x)
∴函数y＝f(x)为奇函数。
2. 任取0<x1<x2 又因为函数y＝f(x)为奇函数，那么有f(-x)=-f(x)
那么f(x2)-f(x1)＝f(x2)＋f(-x1)=f(x2-x1)（来源题中已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)）
因为x>0时，f(x)<0 而0<x1<x2
所以x2-x1>0
即f(x2-x1)<0
所以f(x2)-f(x1)＝f(x2)＋f(-x1)=f(x2-x1)<0
即f(x2)<f(x1)
∴在x∈(0,正无穷)上单调递减
因为y＝f(x)为奇函数，且在x∈(0,正无穷)上单调递减，那么在x∈(负无穷,0)同样单调递减。
所以函数y＝f(x)在R上单调递减。
3. 因为f(kx2)＋f(－x2＋x－2)>0恒成立
等价于f(kx2)＋f(－x2＋x－2)=f(（k-1）x2＋x－2)>0=f（0）恒成立
即f(（k-1）x2＋x－2)>f（0）
又因为函数y＝f(x)在R上单调递减。
那么（k-1）x2＋x－2<0恒成立
有二次函数开口向下且△<0
即k-1<0
1+8(k-1)<0
推出k<7/8
