...数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究: 问题情境:如图1,四...

发布网友发布时间：2024-09-30 08:18

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热心网友时间：2024-10-25 09:45

思路分析：问题情境：根据可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出结论；问题迁移：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论；实际运用：如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1，再根据条件由三角函数值就可以求出结论；拓展延伸：分情况讨论当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，由条件可以得出AD=6，就可以求出△OAD的面积，再根据问题迁移的结论就可以求出最大值；当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，由B、C的坐标可得直线BC的解析式，就可以求出T的坐标，从而求出△OCT的面积，再由问题迁移的结论可以求出最大值，通过比较久可以求出结论．

解：

问题情境：∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE． ∵点E为DC边的中点， ∴DE=CE．

∵在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴S△ADE=S△FCE，
∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE，
即S四边形ABCD=S△ABF；

问题迁移：出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，如图2，

过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON．
∵S四边形MOFG＜S△EOF，
∴S△MON＜S△EOF，
∴当点P是MN的中点时S△MON最小；

实际运用：如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1

在Rt△OPP1中，
∵∠POB=30°，
∴PP1=OP=2，OP1=2．
由问题迁移的结论知道，当PM=PN时，△MON的面积最小，
∴MM1=2PP1=4，M1P1=P1N．
在Rt△OMM1中，

tan∠AOB=

热心网友时间：2024-10-25 09:40

分析：问题情境：根据可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出结论；
问题迁移：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论；
实际运用：如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1，再根据条件由三角函数值就可以求出结论；
拓展延伸：分情况讨论当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，由条件可以得出AD=6，就可以求出△OAD的面积，再根据问题迁移的结论就可以求出最大值；
当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，由B、C的坐标可得直线BC的解析式，就可以求出T的坐标，从而求出△OCT的面积，再由问题迁移的结论可以求出最大值，通过比较久可以求出结论．
解答：解：问题情境：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE．
∵点E为DC边的中点，
∴DE=CE．
∵在△ADE和△FCE中，

∠DAE=∠F
∠D=∠FCE
DE=CE

，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴S△ADE=S△FCE，
∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE，
即S四边形ABCD=S△ABF；

问题迁移：出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，如图2，
过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON．
∵S四边形MOFG＜S△EOF，
∴S△MON＜S△EOF，
∴当点P是MN的中点时S△MON最小；

实际运用：如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1，
在Rt△OPP1中，
∵∠POB=30°，
∴PP1=
1
2
OP=2，OP1=2
3
．
由问题迁移的结论知道，当PM=PN时，△MON的面积最小，
∴MM1=2PP1=4，M1P1=P1N．
在Rt△OMM1中，
tan∠AOB=
MM1
OM1
，
2.25=
4
OM1
，
∴OM1=
16
9
，
∴M1P1=P1N=2
3
-
16
9
，
∴ON=OP1+P1N=2
3
+2
3
-
16
9
=4
3
-
16
9
．
∴S△MON=
1
2
ON?MM1=
1
2
（4
3
-
16
9
）×4=8
3
-
32
9
≈10.3km2．

拓展延伸：①如图4，当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，
∵C（
9
2
，
9
2
），
∴∠AOC=45°，
∴AO=AD．
∴A（6，0），
∴OA=6，
∴AD=6．
∴S△AOD=
1
2
×6×6=18，
由问题迁移的结论可知，当PN=PM时，△MND的面积最小，
∴四边形ANMO的面积最大．
作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足分别为P1，M1，
∴M1P1=P1A=2，
∴OM1=M1M=2，
∴MN∥OA，
∴S四边形OANM=S△OMM1+S四边形ANPP1=
1
2
×2×2+2×4=10
②如图5，当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，
∵C（
9
2
，
9
2
）、B（6，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，由题意，得

9
2
=
9
2
k+b

3=6k+b

，
解得：

k=-1
b=9

，
∴y=-x+9，
当y=0时，x=9，
∴T（9，0）．
∴S△OCT=
1
2
×
9
2
×9=
81
4
．
由问题迁移的结论可知，当PM=PN时，△MNT的面积最小，
∴四边形CMNO的面积最大．
∴NP1=M1P1，MM1=2PP1=4，
∴4=-x+9，
∴x=5，
∴M（5，4），
∴OM1=5．
∵P（4，2），
∴OP1=4，
∴P1M1=NP1=1，
∴ON=3，
∴NT=6．
∴S△MNT=
1
2
×4×6=12，
∴S四边形OCMN=
81
4
-12=
33
4
＜10．