谁帮我总结一下空集,要包含各种题型的
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发布时间:2022-05-06 19:04
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时间:2022-07-01 20:56
【例题1】求集合{1,2}的子集
解:{1},{2},{1,2},¢
【例题2】求集合{1,2}的子集的集合
解:{{1},{2},{1,2},¢}
定义:不含任何元素的集合称为空集。表示方法:用符号ø表示
空集的性质:
空集是一切集合的子集。
对任意集合 A,空集是 A 的子集;
∀A: {} ⊆ A
对任意集合 A, 空集和 A 的并集为 A:
∀A: A ∪ {} = A
对任意集合 A, 空集和 A 的交集为空集:
某种事物不存在,就是空集。
∀A: A ∩ {} = {}
对任意集合 A, 空集和 A 的笛卡尔积为空集:
∀A: A × {} = {}
空集的唯一子集是空集本身:
∀A: A ⊆ {} ⇒ A = {}
空集的元素个数(即它的势)为零;特别的,空集是有限的:
|{}| = 0
集合论中,两个集合相等,若它们有相同的元素;那么仅可能有一个集合是没有元素的,即空集是唯一的。
考虑到空集是实数线(或任意拓扑空间)的子集,空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集,是它的子集,因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集,是它的子集,因此空集是开集。另外,空集是紧致集合,因为所有的有限集合是紧致的。
空集的闭包是空集。
名词解释
第一讲 集合的概念与运算
【考点透视】
1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.
2.了解空集和全集的意义.
3.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.
4.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.
5.注意空集 的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如A B,则有A= 或A≠ 两种可能,此时应分类讨论.
【例题解析】
题型1. 正确理解和运用集合概念
理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.
例1.已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则M∩N=( )
A.(0,1),(1,2) B.{(0,1),(1,2)}C.{y|y=1,或y=2} D.{y|y≥1}
思路启迪:集合M、N是用描述法表示的,元素是实数y而不是实数对(x,y),因此M、N分别表示函数y=x2+1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域,求M∩N即求两函数值域的交集.
解:M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1}, N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}.
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D.
点评:①本题求M∩N,经常发生解方程组
从而选B的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事实上M、N的元素是数而不是点,因此M、N是数集而不是点集.②集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x2+1}、{y|y=x2+1,x∈R}、{(x,y)|y=x2+1,x∈R},这三个集合是不同的.
例2.若P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=x2+1,x∈R},则P∩Q等于( )
A.P B.Q C. D.不知道
思路启迪:类似上题知P集合是y=x2(x∈R)的值域集合,同样Q集合是y= x2+1(x∈R)的值域集合,这样P∩Q意义就明确了.
解:事实上,P、Q中的代表元素都是y,它们分别表示函数y=x2,y= x2+1的值域,由P={y|y≥0},Q={y|y≥1},知Q P,即P∩Q=Q.∴应选B.
例3. 若P={y|y=x2,x∈R},Q={(x,y)|y=x2,x∈R},则必有( )
A.P∩Q= B.P Q C.P=Q D.P Q
思路启迪:有的同学一接触此题马上得到结论P=Q,这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同,而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,P集合是函数值域集合,Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物.
解:正确解法应为: P表示函数y=x2的值域,Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集,因此P∩Q= .∴应选A.
例4若 ,则 = ( )
A.{3} B.{1} C. D.{-1}
思路启迪:
解:应选D.
点评:解此类题应先确定已知集合.
题型2.集合元素的互异性
集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识.
例5. 若A={2,4, 3-2 2- +7},B={1, +1, 2-2 +2,- ( 2-3 -8), 3+ 2+3 +7},且A∩B={2,5},则实数 的值是________.
解答启迪:∵A∩B={2,5},∴ 3-2 2- +7=5,由此求得 =2或 =±1. A={2,4,5},集合B中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步考查.
当 =1时, 2-2 +2=1,与元素的互异性相违背,故应舍去 =1.
当 =-1时,B={1,0,5,2,4},与A∩B={2,5}相矛盾,故又舍去 =-1.
当 =2时,A={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时A∩B={2,5},满足题设.
故 =2为所求.
例6. 已知集合A={ , +b, +2b},B={ , c, c2}.若A=B,则c的值是______.
思路启迪:要解决c的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式.
解:分两种情况进行讨论.
(1)若 +b= c且 +2b= c2,消去b得: + c2-2 c=0,
=0时,集合B中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故 ≠0.
∴c2-2c+1=0,即c=1,但c=1时,B中的三元素又相同,此时无解.
(2)若 +b= c2且 +2b= c,消去b得:2 c2- c- =0,
∵ ≠0,∴2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0,又c≠1,故c=- .
点评:解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验和修正.
例7.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2- x+ -1=0},且A∪B=A,则 的值为______.
思路启迪:由A∪B=A 而推出B有四种可能,进而求出 的值.
解: ∵ A∪B=A,
∵ A={1,2},∴ B= 或B={1}或B={2}或B={1,2}.
若B= ,则令△<0得 ∈ ;
若B={1},则令△=0得 =2,此时1是方程的根;
若B={2},则令△=0得 =2,此时2不是方程的根,∴ ∈ ;
若B={1,2}则令△>0得 ∈R且 ≠2,把x=1代入方程得 ∈R,把x=2代入方程得 =3.
综上 的值为2或3.
点评:本题不能直接写出B={1, -1},因为 -1可能等于1,与集合元素的互异性矛盾,另外还要考虑到集合B有可能是空集,还有可能是单元素集的情况.
题型3.要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题,是我们解答数学问题过程中经常遇到,并且必须解决的问题,因此应予以重视.反映集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的关系来定义的.因此,在证明(判断)两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去.
例8.设集合A={ | =3n+2,n∈Z},集合B={b|b=3k-1,k∈Z},则集合A、B的关系是________.
解:任设 ∈A,则 =3n+2=3(n+1)-1(n∈Z),
∴ n∈Z,∴n+1∈Z.∴ ∈B,故 . ①
又任设 b∈B,则 b=3k-1=3(k-1)+2(k∈Z),
∵ k∈Z,∴k-1∈Z.∴ b∈A,故 ②
由①、②知A=B.
点评:这里说明 ∈B或b∈A的过程中,关键是先要变(或凑)出形式,然后再推理.
例9若A、B、C为三个集合, ,则一定有( )
A . B . C . D .
[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.
解:由 知, ,故选A.
例10.设集合 ,则满足 的集合B的个数是( )
A . 1 B .3 C .4 D . 8
[考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题,同时考查了等价转化思想.
解: , ,则集合B中必含有元素3,即此题可转化为求集合 的子集个数问题,所以满足题目条件的集合B共有 个.故选C.
例11. 记关于 的不等式 的解集为 ,不等式 的解集为 .
(I)若 ,求 ;
(II)若 ,求正数 的取值范围.
思路启迪:先解不等式求得集合 和 .
解:(I)由 ,得 .
(II) .
由 ,得 ,又 ,所以 ,
即 的取值范围是 .
题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的重要集合,它不含任何元素,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.显然,空集与任何集合的交集为空集,与任何集合的并集仍等于这个集合.当题设中隐含有空集参与的集合关系时,其特殊性很容易被忽视的,从而引发解题失误.
例12. 已知A={x|x2-3x+2=0},B={x| x-2=0}且A∪B=A,则实数 组成的集合C是________.
解:由x2-3x+2=0得x=1或2.当x=1时, =2,当x=2时, =1.
这个结果是不完整的,上述解答只注意了B为非空集合,实际上,B= 时,仍满足A∪B=A,当 =0时,B= ,符合题设,应补上,故正确答案为C={0,1,2}.
例13.已知集合 , .若 ,则实数 的取值范围是 .
思路启迪:先确定已知集合A和B.
解:
故实数 的取值范围是 .
例14. 已知集合A={x|x2+(m+2)x+1=0,x∈R},若A∩ = ,则实数m的取值范围是_________.
思路启迪:从方程观点看,集合A是关于x的实系数一元二次方程x2+(m+2)x+1=0的解集,而x=0不是方程的解,所以由A∩ = 可知该方程只有两个负根或无实数根,从而分别由判别式转化为关于m的不等式,并解出m的范围.
解:由A∩ = 又方程x2+(m+2)x+1=0无零根,所以该方程只有两个负根或无实数根,
或△=(m+2)2-4<0.解得m≥0或-4<m<0,即m>-4.
点评:此题容易发生的错误是由A∩ = 只片面地推出方程只有两个负根(因为两根之积为1,因为方程无零根),而把A= 漏掉,因此要全面准确理解和识别集合语言.
例15.已知集合A={x|x2-3x-10≤0},集合B={x|p+1≤x≤2p-1}.若B A,则实数p的取值范围是________.
解:由x2-3x-10≤0得-2≤x≤5.
欲使B A,只须 ∴ p的取值范围是-3≤p≤3.
上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论,即B= 时,符合题设.
应有:①当B≠ 时,即p+1≤2p-1 p≥2.
由B A得:-2≤p+1且2p-1≤5.由-3≤p≤3.∴ 2≤p≤3.
②当B= 时,即p+1>2p-1 p<2.
由①、②得:p≤3.
点评:从以上解答应看到:解决有关A∩B= 、A∪B= ,A B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.
题型5.要注意利用数形结合解集合问题
集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化,然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解.
例16.设全集U={x|0<x<10,x∈N*},若A∩B={3},A∩CUB={1,5,7},CUA∩CUB={9},则集合A、B是________.
思路启迪:本题用推理的方法求解不如先画出文氏图,用填图的方法来得简捷,由图不难看出.
解:A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}.
例17.集合A={x|x2+5x-6≤0},B={x|x2+3x>0},求A∪B和A∩B.
解:∵ A={x|x2-5x-6≤0}={x|-6≤x≤1},
B={x|x2+3x>0}={x|x<-3,或x>0}. 如图所示,
∴ A∪B={x|-6≤x≤1}∪{x|x<-3,或x>0}=R.
A∩B={x|-6≤x≤1}∩{x|x<-3,或x>0}={x|-6≤x<-3,或0<x≤1}.
点评:本题采用数轴表示法,根据数轴表示的范围,可直观、准确的写出问题的结果.
例18.设A={x|-2<x<-1,或x>1},B={x|x2+ x+b≤0},已知A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x≤3},求 、b的值.
思路启迪:可在数轴上画出图形,利用图形分析解答.
解:如图所示,设想集合B所表示的范围在数轴上移动,
显然当且仅当B覆盖住集合{x|-1<x<3},才能使A∪B={x|x>-2},且A∩B={x|1<x≤3}.
根据二次不等式与二次方程的关系,可知-1与3是方程x2+ x+b=0的两根,
∴ =-(-1+3)=-2, b=(-1)×3=-3.
点评:类似本题多个集合问题,借助于数轴上的区间图形表示进行处理,采用数形结合的方法,会得到直观、明了的解题效果.
【专题训练】
一.选择题:
1.设M={x|x2+x+2=0}, =lg(lg10),则{ }与M的关系是( )
A、{ }=M B、M { } C、{ } M D、M { }
2.已知全集 =R,A={x|x- |<2},B={x|x-1|≥3},且A∩B= ,则 的取值范围是( )
A、 [0,2] B、(-2,2) C、(0,2] D、(0,2)
3.已知集合M={x|x= 2-3 +2, ∈R},N={x|x=b2-b,b∈R},则M,N的关系是( )
A、 M N B、M N C、M=N D、不确定
4.设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则A∪B中的元素个数是( )
A、11 B、10 C、16 D、15
5.集合M={1,2,3,4,5}的子集是( )
A、15 B、16 C、31 D、32
6 集合M={x|x= ,k∈Z},N={x|x= ,k∈Z},则( )
A M=N B M N C M N D M∩N=
7. 已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0,x∈R},若A∩R-≠ ,求实数m的取值范围.
8. 命题甲:方程x2+mx+1=0有两个相异负根;命题乙:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,这两个命题有且只有一个成立,求m的取值范围.
9 已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}且B≠ ,若A∪B=A,则( )
A -3≤m≤4 B -3<m<4 C 2<m<4 D 2<m≤4
10.集合M= ,且 .则实数a的取值范围是( )
A. a -1 B. a 1 C. a -1 D.a 1
11.满足{ ,b} M={ ,b,c,d}的所有集合M的个数是( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
12.若命题P:x A B ,则 P是( )
A. x A B B. x A或x B C. x A且x B D. x A B
13.已知集合M={ , }.P={- ,2 -1};若card(M P)=3,则M P= ( )
A.{-1} B.{1} C.{0} D.{3}
14.设集合P={3,4,5}.Q={4,5,6,7}.令P*Q= ,则P*Q中元素的个数是 ( )
A. 3 B. 7 C. 10 D. 12
二.填空题:
15.已知M={ },N={x| ,则M∩N=__________.
16.非空集合p满足下列两个条件:(1)p {1,2,3,4,5},(2)若元素 ∈p,则6- ∈p,则集合p个数是__________.
17.设A={1,2},B={x|x A}若用列举法表示,则集合B是 .
18.含有三个实数的集合可表示为 ,则 .
三.解答题:
19.设集合A={(x,y)|y= x+1},B={(x,y)|y=|x|},若A∩B是单元素集合,求 取值范围.
20.设A={x|x2+px+q=0}≠ ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若A∩M= ,A∩N=A,求p、q的值.
21.已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求M∩N.
22.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-mx+2=0},且A∩B=B,求实数m范围.
23.已知全集 =R,且 ,求 .
24.已知集合 ,
且 , ,求 ,b的值.
【参*】
1. C 2. A 3. C 4. C 5. D
6. C 解析 对M将k分成两类 k=2n或k=2n+1(n∈Z), M={x|x=nπ+ ,n∈Z}∪{x|x=nπ+ ,n∈Z},
对N将k分成四类,k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),
N={x|x=nπ+ ,n∈Z}∪{x|x=nπ+ ,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+ ,n∈Z}
7.解:设全集 ={m|△=(-4m)2-4(2m+6)≥0}={m|m≤-1或m≥ }.
若方程x2-4mx+2m+6=0的二根为x1、x2均非负,
因此,{m|m≥ }关于 补集{m|m≤-1}即为所求.
8.解:使命题甲成立的条件是:
∴ 集合A={m|m>2}.
使命题乙成立的条件是:△2=16(m-2)2-16<0,∴1<m<3.∴ 集合B={m|1<m<3}.
若命题甲、乙有且只有一个成立,则有:
(1)m∈A∩CRB,(2)m∈CRA∩B.
若为(1),则有:A∩CRB={m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3};
若为(2),则有:B∩CRA={m|1<m<3}∩{m|m≤2}={m|1<m≤2};
综合(1)、(2)可知所求m的取值范围是{m|1<m≤2,或m≥3}.
9.D 解析 ∵A∪B=A,∴B A,又B≠ ,
∴ ,即2<m≤4
10.C 11.D 12.B 13.D 14.B
二.填空题:
15. ; 16. 7 ; 17. ; 18.-1.
三.解答题:
19. ≥1或 ≤-1,提示:画图.
20. 或 或
21.解:在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征.M、N均为数集,不能误认为是点集,从而解方程组。其次要化简集合,或者说使集合的特征明朗化.M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}.∴ M∩N=M={y|y≥1}.
22.解:化简条件得A={1,2},A∩B=B B A.
根据集合中元素个数集合B分类讨论,B= ,B={1}或{2},B={1,2}.
当B= 时,△=m2-8<0.∴ .
当B={1}或{2}时, ,m无解.
当B={1,2}时, ∴ m=3.
综上所述,m=3或 .
24. 解: ∵ . ∴ 中元素必是B的元素.
又∵ , ∴ 中的元素属于B,
故 .
而 . ∴-1,4是方程 的两根, ∴a=-3,b=-4.
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