如何判断一个幂级数的和函数是否为初等函数?

发布网友发布时间：2024-09-29 01:31

共3个回答

热心网友时间：2024-10-17 11:16

这个应该没有什么通用的判断方法（随便拿两个初等函数一乘，再展开，结果就超级难看），只能靠多做题，找感觉了吧，熟悉就好了。

比如LZ说的那个S(x)，注意到
(1-x)^(-1) = 1+x+x^2+x^3+...
(1-x)^(-2) = (1+x+x^2+...)^2
= 1+2x+3x^2+4x^3+...
凑一下，可以看出来S(x) = 1 - (1-x)^(-1) + (1-x)^(-2)，是初等函数，我在这就不化简了。

要说技巧的话，就是把基本的展开式背熟，比如 ln, sin, cos, (1+x)^α, 然后去凑一凑吧...追问没有通用方法？

追答应该是没有的...

热心网友时间：2024-10-17 11:16

s(x)= 1+x+2x^2+3x^3+......+(n-1)x^(n-1) +nx^n+......
xS(x)= x+ x^2+2x^3+ +(n-2)x^(n-1)+(n-1)x^n+......
两式相减得 (1-x)S(x)=1+x^2+x^3+......+x^n+......=1+x^2/(1-x) (-1<x<1)
则 S(x)=(1-x+x^2)/(1-x)^2, (-1<x<1) S(x) 为初等函数。

热心网友时间：2024-10-17 11:17

不是，初等函数的定义实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次有理运算及有限次复合后所构成的函数类。你那个是无限次的不能表示为初等函数
判断方法就是看他的表示形式，像你那种无限加和就不是

热心网友时间：2024-10-17 11:16

追答应该是没有的...

热心网友时间：2024-10-17 11:16

热心网友时间：2024-10-17 11:17