已知数列{a n }各项均为正数,其前n项和为S n ,且满足4S n =(a n +...
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发布时间:2024-10-04 09:39
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时间:2024-10-14 09:48
(1)a n =2n-1;(2) .
试题分析:(1)本小题可化归为a n+1 =S n+1 -S n ,整理为4a n+1 =a n+1 2 -a n 2 +2a n+1 -2a n 再因式分解为2(a n+1 +a n )=(a n+1 +a n )(a n+1 -a n ),即可得到a n+1 -a n =2,根据等差数列的定义,可知{a n }为等差数列,易得其通项公式;(2)本小题b n 通项公式先进行裂项,利用裂项相消法可求得T n 的值,可证明T n+1 >T n , 易知{T n }为递增数列,则最小值为T 1 .
试题解析:(1)因为(a n +1) 2 =4S n ,所以S n = ,S n+1 = .
所以S n+1 -S n =a n+1 = 即4a n+1 =a n+1 2 -a n 2 +2a n+1 -2a n , ∴2(a n+1 +a n )=(a n+1 +a n )(a n+1 -a n ).
因为a n+1 +a n ≠0,所以a n+1 -a n =2,即{a n }为公差等于2的等差数列.由(a 1 +1) 2 =4a 1 ,解得a 1 =1,所以a n =2n-1.
(2)由(1)知b n = = ,∴T n =b 1 +b 2 +…+b n =
∵T n+1 -T n =
∴T n+1 >T n ,∴数列{T n }为递增数列,∴T n 的最小值为T 1 = . 与 的关系: ,等差数列的定义,裂项相消法,递增数列的定义.