复变函数(2)——积分,柯西积分定理,柯西积分公式,高阶导数公式_百度知 ...
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发布时间：2024-10-09 13:25
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时间：2024-10-09 16:02
前置知识：多元微积分、复变函数的导数。
注：推理并不严格，主要供工科生理解，数学系请多多包涵。
1. 复变函数的积分
1.1 定义
一元实函数的自变量只能在[公式] 轴上向前向后走。复变函数的自变量可以在复平面上走，所以积分是基于路径的，与实函数的曲线积分有类似之处。
如上图所示，自变量[公式] 沿着某条路径 [公式] 走，在某点处走一微小的 [公式] ，该点对应的函数值为 [公式] ，那么这一点的微元就是 [公式] ，整条路径的积分就是 [公式] .
我们可以把实部与虚部展开，令[公式] ，有：
[公式]
[公式]
这就把复变函数的积分化为了两个二型曲线积分。
1.2 物理意义
上式是不是有点眼熟！[公式] 有点像环量，但是 [公式] 的符号反了。我们可以取一个新的向量场 [公式] ，它是原来的复变函数的共轭。则对 [公式] 积分有：
[公式]
积分的实部是向量场沿[公式] 的环量，虚部是向量场沿 [公式] 的通量（二维通量，可视为柱形三维通量的投影）！关于环量和通量的理解，可以参看：
2. 柯西定理/柯西积分定理/积分基本定理/柯西-古萨定理
研究一下解析函数在闭合曲线上的积分。闭合曲线的正向，与高数中一型曲线积分中的定义一致。
设[公式] 全解析，则满足C-R方程 [公式]
回顾一下格林公式：
[公式]
换掉字母，有：
[公式]
[公式]
嘿！真是巧了，这两个积分正好是零。所以，解析函数[公式] 在任意闭合曲线上的积分为0，即 [公式] ，这就是柯西定理/柯西积分定理/积分基本定理。这也说明，解析函数的积分与路径无关。
3. 柯西积分公式
再研究一下从解析函数中挖去一个点后绕这个点的闭积分。如何挖去一个点？函数[公式] 就挖去了 [公式] 这个点，而且其余部分依然解析。我们研究 [公式] .
如上图所示，在[公式] 点附近构造一圆形闭路径 [公式] ， [公式] 点沿着圆弧方向前进 [公式] . 此时的 [公式] 表示什么？模长相除，弧长 [公式] 除以半径 [公式] ，正好就是旋转角度 [公式] ；辐角相减， [公式] 的辐角减去 [公式] 的辐角，正好是 [公式] . 所以 [公式] .
实际上，[公式] 的表达式为 [公式] ，根据链式法则， [公式] 也能得到相同结论。
因为解析函数的积分与路径无关，我们让圆[公式] 的半径越来越小，这样 [公式] 的所有值就越来越趋近于 [公式] ，而 [公式] 不变，有：
[公式]
公式[公式] 称为柯西积分公式。
4. 高阶导数公式
由于求导与积分运算是线性的，次序可以交换，我们把柯西积分公式两边反复对[公式] 求导，可得：
[公式]
[公式]
[公式]
[公式]
上式就是高阶导数公式，可以利用导数来求积分。
