集合的题目两题,要详细过程
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发布时间：2022-05-21 00:24
共5个回答
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时间：2023-10-09 15:38
1 已知集合{2，4，6，8}，令π（x）表示A的非空子集X中所有元素
之积，求所有这些π（x）的积
解：以元素2为研究对象：
当真子集只有1个元素时，2出现1次，即[C,3,0] （排列组合计算符号，表示C下3上0）
当真子集有2个元素时，2出现3次，即[C,3,1]
当真子集有3个元素时，2出现3次，即[C,3,2]
当真子集有4个元素时，2出现1次，即[C,3,3]
那么一共出现8次
根据对称性，每个元素都是出现8次，所以积是(2×4×6×8)^8＝384^8
2 已知集合B={x=n*n,n<=10,n∈N,令∑（y）表示B的非空子集Y中所有元素的和，求所有这些∑（y）的和
解：根据第一题的结论，集合B中的每个元素在所求的和中出现的次数是：
[C,9,0]+[C,9,1]+[C,9,2]+……+[C,9,9]
根据二项式定理，这是(x+1)^9当x＝1时所有系数的和，所以[C,9,0]+[C,9,1]+[C,9,2]+……+[C,9,9]＝2^9＝512，即每个元素出现512次
根据公式1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
那么当n＝10时，1*1+2*2+3*3+……+10*10＝10*11*21/6=385
所以∑（y）的和等于385×512＝197120
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时间：2023-10-09 15:38
这样来考虑，对这n个元素而言，任意从中间取出一个元素，记为a,那么这个集合的所有的子集(包括空集)，可以被a分为两类，一类是含a的，一类是不含a的，不难看出，这两类子集之间可以非常方便的建立一个一一对应如{a,b,c,d}->{b,c,d}，换句话说，这两类子集的个数是相同的，也就是各有2^(n-1)个。故a在不同的非空子集中出现了2^(n-1)次。
所以1中的每个元素出现了2^3=8次，2中的每个元素出现了2^9=512次。
所以第一问大家的答案都对了，而第二问只有ilovechenmin的是正确的。
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时间：2023-10-09 15:39
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时间：2023-10-09 15:39
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时间：2023-10-09 15:40
(2)根据第一问可以看出，集合中每个元素出现的频率是相同的，当集合的元素有10个的话，即1*1,2*2,3*3.....10*10。每个元素出现的频率为1+9！（9的阶乘）即对于真子集元素数为1的只有1个，子集内元素数为2个时确定某一个元素其余的从9个中选1个，子集内元素数为3个时确定某一个元素其余的从9个中选2个，子集内元素数为4个时确定某一个元素其余的从9个中选3，........如果子集内元素数为10个时确定某一个元素其余的从9个中选9
当原集合元素数为n时，每个元素出现的频率为1+(n-1)!
所以结果为（1+2*2+3*3+4*4+5*5+6*6+7*7+8*8+9*9+10*10）*(1+9!)=139345920
