线性代数,线性方程组,2题
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发布时间:2022-05-21 01:27
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时间:2023-08-22 16:57
2. 系数矩阵行列式 |A| =
|1+λ 1 1|
|1 1+λ 1|
|1 1 1+λ|
将第2,3列加到第1列,得 |A| =
|3+λ 1 1|
|3+λ 1+λ 1|
|3+λ 1 1+λ|
|A| =
|3+λ 1 1|
|0 λ 0|
|0 0 λ|
|A| =(3+λ)λ^2.
(1) 当 λ≠0 且 λ≠-3 时,|A| ≠0,方程组有唯一解。
(2) 当 λ=0 时,增广矩阵 (A, b) =
[ 1 1 1 0]
[ 1 1 1 3]
[ 1 1 1 0]
行初等变换为
[ 1 1 1 0]
[ 0 0 0 3]
[ 0 0 0 0]
r(A)=1, r(A,b)=2, 故方程组无解。
(3) 当 λ=-3 时,增广矩阵 (A, b) =
[-2 1 1 0]
[ 1 -2 1 3]
[ 1 1 -2 -3]
行初等变换为
[ 1 -2 1 3]
[ 0 -3 3 6]
[ 0 3 -3 -6]
行初等变换为
[ 1 0 -1 -1]
[ 0 1 -1 -2]
[ 0 0 0 0]
r(A)=r(A,b)=2<3, 方程组有无穷多解。
(4)方程组同解变形为
x1=-1+x3
x2=-2+x3
取 x3=0, 得特解 (-1, -2, 0)^T
导出组及对应的齐次方程组是
x1=x3
x2=x3
得基础解系 (1, 1, 1)^T,
则通解为 x=k(1, 1, 1)^T +(-1, -2, 0)^T,
其中 k 为任意常数。追问我还有个一题,提了问的,你去答嘛,答了采纳你的