线代矩阵的秩
发布网友
发布时间：2022-05-21 22:39
共1个回答
热心网友
时间：2023-11-17 10:07
线性代数
术语，在线性代数中，一个矩阵A的
列秩
是A的
线性无关
的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。
矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为
rk(A)
或
rankA。
m×n
矩阵的秩
最大为m和n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。
拓展资料：
用
向量组的秩
定义
向量组的秩：在一个m维
线性空间
E中，一个向量组的秩表示的是其生成的
子空间
的维度。考虑m×n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩，则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵A的线性无关纵列的极大数目，即A的
列空间
的维度(列空间是由A的纵列生成的F的子空间)。因为列秩和行秩是相等的，我们也可以定义A的秩为A的行空间的维度。
用
线性映射
定义
考虑线性映射：
对于每个矩阵A，fA都是一个线性映射，同时，对每个的
线性映射f，都存在矩阵A使得f=fA。也就是说，映射是一个同构映射。所以一个矩阵A的秩还可定义为fA的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。矩阵A称为fA的
变换矩阵
。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为n减f的核的维度；
秩-零化度定理
声称它等于f的像的维度。
计算矩阵A的秩的最容易的方式是
高斯
消去法。
高斯算法
生成的A的行梯阵形式有同A一样的秩，它的秩就是
非零
行的数目。
例如考虑
4
×
4
矩阵
我们看到第
2
纵列是第
1
纵列的两倍，而第
4
纵列等于第
1
和第
3
纵列的总和。第1
和第
3
纵列是线性无关的，所以A的秩是
2。这可以用高斯算法验证。它生成下列A的行梯阵形式：
它有两个非零的横行。
在应用在计算机上的
浮点数
的时候，基本高斯消去（
LU分解
）可能是不稳定的，应当使用秩启示（
revealing
）分解。一个有效的
替代者
是
奇异值
分解(SVD），但还有更少代价的选择，比如有支点（pivoting）的
QR分解
，它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自
SVD
的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。
计算矩阵的秩的一个有用应用是计算
线性方程组
解的数目。如果
系数矩阵
的秩等于
增广矩阵
的秩，则方程组有解。在这种情况下，如果它的秩等于方程（未知数）的数目，则方程有唯一解；如果秩小于未知数个数，则有无穷多个解。
