线代矩阵的秩
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发布时间:2022-05-21 22:39
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时间:2023-11-17 10:07
秩是
线性代数
术语,在线性代数中,一个矩阵A的
列秩
是A的
线性无关
的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。
矩阵的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为
rk(A)
或
rankA。
m×n
矩阵的秩
最大为m和n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩;类似的,否则矩阵是秩不足的。
拓展资料:
用
向量组的秩
定义
向量组的秩:在一个m维
线性空间
E中,一个向量组的秩表示的是其生成的
子空间
的维度。考虑m×n矩阵,将A的秩定义为向量组F的秩,则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵A的线性无关纵列的极大数目,即A的
列空间
的维度(列空间是由A的纵列生成的F的子空间)。因为列秩和行秩是相等的,我们也可以定义A的秩为A的行空间的维度。
用
线性映射
定义
考虑线性映射:
对于每个矩阵A,fA都是一个线性映射,同时,对每个的
线性映射f,都存在矩阵A使得f=fA。也就是说,映射是一个同构映射。所以一个矩阵A的秩还可定义为fA的像的维度(像与核的讨论参见线性映射)。矩阵A称为fA的
变换矩阵
。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵,因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为n减f的核的维度;
秩-零化度定理
声称它等于f的像的维度。
计算矩阵A的秩的最容易的方式是
高斯
消去法。
高斯算法
生成的A的行梯阵形式有同A一样的秩,它的秩就是
非零
行的数目。
例如考虑
4
×
4
矩阵
我们看到第
2
纵列是第
1
纵列的两倍,而第
4
纵列等于第
1
和第
3
纵列的总和。第1
和第
3
纵列是线性无关的,所以A的秩是
2。这可以用高斯算法验证。它生成下列A的行梯阵形式:
它有两个非零的横行。
在应用在计算机上的
浮点数
的时候,基本高斯消去(
LU分解
)可能是不稳定的,应当使用秩启示(
revealing
)分解。一个有效的
替代者
是
奇异值
分解(SVD),但还有更少代价的选择,比如有支点(pivoting)的
QR分解
,它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自
SVD
的一个奇异值是否为零的依据,实际选择依赖于矩阵和应用二者。
计算矩阵的秩的一个有用应用是计算
线性方程组
解的数目。如果
系数矩阵
的秩等于
增广矩阵
的秩,则方程组有解。在这种情况下,如果它的秩等于方程(未知数)的数目,则方程有唯一解;如果秩小于未知数个数,则有无穷多个解。