初二上册数学 等腰三角形的要点 怎么学好?
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发布时间：2022-04-25 15:53
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时间：2023-10-14 21:12
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC中，AB＝AC，则△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC，底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．
如图14-3-2中，∠C＝90°，AC＝BC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，∠A、∠B为底角，∠C为顶角．
【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：
（1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．
（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）．若图14-3-1中，AB＝AC＝m，BC＝a，则2m＞a，即m＞时，才能构成三角形，否则不成立．如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5．
例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？
①a＝2，b＝3，c＝5；②a＝4，b＝3，c＝2；
③a＝1，b＝2，c＝2；④a＝2 005，b＝2 004，c＝2 008．
（2）已知等腰三角形的两边为6 cm，7 cm，求其周长．
（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm，7 cm，求其周长．
解：（1）①由于2＋3＝5，即a＋b＝c，而不满足a＋b＞c，∴ 不能组成三角形．
②由于2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以组成三角形．
③由于1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以组成三角形．
④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．
（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm
当腰长为6 cm时，周长为6＋6＋7＝19（cm）
当腰长为7 cm时，周长为6＋7＋7＝20（cm）．
∴ 等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．
（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm．若为2 cm，则2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm），
∴ 等腰三角形的周长为16 cm．
2．等腰三角形的性质1
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C
证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．
∵ AB＝AC，∴ 点A在BC的垂直平分线上．
又∵ AD为△ABC的对称轴，
∴ △ABD≌△ACD（轴对称性质）．
∴ ∠B＝∠C
证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，
在△ABD和△ACD中∴ △ABD≌△ACD（SAS）．
∴ ∠B＝∠C
【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．
证法三：如图14-3-4，过B、C分别作AC、AB边上的高BD、CE，
在△ABD和△ACE中，
∴ △ABD≌△ACE（AAS）．
∴ BD＝CE
在Rt△BCD和Rt△CBE中，∴ Rt△BCD≌Rt△CBE（HL）．
∴ ∠B＝∠C．
证法四：如图14-3-5，分别取AB、AC的中点E、D，连接BD、CE．
∵ AB＝AC，AD＝DC＝AC，AE＝BE＝AB，
∴ AD＝BE＝AE＝DC
在△ABD和△ACE中，
∴ △ABD≌△ACE（SAS）．
∴ BD＝CE．
在△BCE和△CBD中
∴ △BCE≌△CBD（SSS）．
∴ ∠ABC＝∠ACB．
【说明】从以上的证法二、三、四中可以看出，要证两角相等，都是想方设法把它们放在两个三角形中，证两个三角形全等．
3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．
如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．
即△ABC中，AB＝AC，
若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD＝CD；
若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；
若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．
因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．
【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．
（2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的．
如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形．
（3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明．
例如：△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，如图14-3-8．求证：∠BAC＝2∠DBC
证法一：
在△BCD中，∵ BD⊥AC，∴ ∠BDC＝90°．
∴ ∠DBC＝90°－∠C．
在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．
∴ ∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－2∠ACB＝2（90°－∠C）．
∴ ∠BAC＝2∠DBC
证法二：借助于三线合一的性质，过A作AM⊥BC于M，则AM平分∠BAC，
∴ ∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.
又∵ BD⊥AC交AC于D，AM⊥BC交BC于M，
∴ ∠DBC＝90°－∠C
又∵ AM⊥BC，∴ ∠CAM＝90°－∠C，∴ ∠DBC＝∠CAM
4．等腰三角形的性质3（轴对称性）
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．
如图14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则△ABC的对称轴为AD所在的直线，△ABD≌△ACD．
过D作DE⊥AB，交AB于E，作DF⊥AC，交AC于F．
由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．
同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等．因此，得到等腰三角形的一个重要结论．
重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等．
5．等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）
等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．
例如：如图14-3-10，△ABC中，AB＝AC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BD＝CE．
证明：∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．
又∵ BD⊥AC，CE⊥AB，∴ ∠BDC＝∠CEB＝90°．
在△BCD和△CBE中，
∴ △BCD≌△CBE（AAS）．
∴ BD＝CE．
或S△ABC＝AB·CE＝AC·BD．
∵ AB＝AC，∴ BD＝CE．此法较为简便．
同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，它们也分别对应相等．
6．等腰三角形的判定定理（等角对等边）
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC
证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，
则∠BAD＝∠CAD．
在△ABD和△ACD中，
∴ △ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC
因此，这一结论可直接利用．
【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．
（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．
例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．
证明：∵ AB＝AC，
∴ ∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．
在△BCE和△CBD中
∴ △BCE≌△CBD（SAS）．
∴ ∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO
∴ OB＝OC（等角对等边）．
【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．
7．已知底边和底边上的高，求作等腰三角形
已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高为b．
作法：（1）作线段BC＝a；
（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；
（3）在MN上截取AD＝b；
（4）连接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．
【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，∴ AB＝AC
∴ △ABC为等腰三角形，如图14-3-13．
（2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的．
8．等边三角形（equilateral triangle）
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC中，AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形．
（2）性质：
①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．
②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．
（3）判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形．
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
下面证明以上两条判定．
判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵ ∠B＝∠C，∴ AB＝AC
又∵ ∠A＝∠B∴ AC＝BC
∴ AB＝AC＝BC，∴ △ABC是等边三角形．
判定②：如图14-3-15，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°．求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C．
又∵ ∠B＝60°，∴ ∠B＝∠C＝60°．
又∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴ ∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．
∴ ∠A＝∠B＝∠C，∴ AB＝BC＝AC．
∴ △ABC为等边三角形．
（4）应用：
例如：如图14-3-16，△ABC为等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BD＝BC＝CE，求∠DAE的度数．
分析：要求∠DAE的度数，需分开求，先求∠BAC，再求∠DAB和∠CAE，由△ABC为等边三角形知∠BAC＝60°，又∵ BD＝BC，而BC＝BA，则BD＝BA，∴ △ABD为等腰三角形，∴ ∠D＝∠DAB＝∠ABC＝30°．同理可知，∠CAE＝30°．
解：∵ △ABC为等边三角形，
∴ AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．
又∵ BD＝BC，∴ BD＝BC＝AB．
∴ ∠DAB＝∠D，又∵ ∠ABC＝∠D＋∠DAB，
∴ ∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴ ∠DAB＝30°．
同理，∠CAE＝30°．
∴ ∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．
【说明】本题中用到了等边三角形的性质．
再如：如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．
求证：△PQR是等边三角形．
分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与
△CAD全等．
证明：∵ △ABC为等边三角形，
∴ ∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．
又∵ BD＝CE＝AF，
∴ BF＝DC＝AE
在△ABE和△BCF和△CAD中，
∴ △ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．
∴ ∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．
∵ ∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴ ∠ACQ＋∠CAQ＝60°．
∴ ∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．
同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．
∴△PQR为等边三角形．
【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；
（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．
9．含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
如图14-3-18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC＝AB，这一性质反过来也成立．即在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝AB，则∠A＝30°．因此Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°BC＝AB
这一性质在解题中经常用到．
例如：如图14-3-19，在Rt△ABC中，∠BAC为直角，高AD交BC于D，∠B＝30°，BC＝12米，
求CD，BD的长．
解：∵ 在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴ ∠C＝60°，BC＝2AC
∴ AC＝BC＝6（米）．
在Rt△ACD中，∵ AD⊥BC，∠C＝60°，
∴ ∠CAD＝30°．
∴ DC＝AC＝×6＝3（米）．
∴ BD＝BC－DC＝9－6＝12－3＝9（米）．
【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质，并且用的方式都一样．
10．证明线段相等的方法
到目前为止，学过的证明线段相等的方法，有以下几种：
（1）全等三角形的对应边相等（在两个三角形中）．
（2）等角对等边（在一个三角形中）．
（3）轴对称的性质（在某条直线的两侧）．
（4）角平分线的性质（在角的平分线上的两条线段）．
（5）中点的概念（在一条直线上）．
（6）利用第三条等量线段．
（7）作辅助线、创造条件．
例如：如图14-3-20，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．
分析：因BD与CE在一条直线上，且又在两个三角形中，可考虑证两个三角形全等或用中点的概念进行证明，也可用轴对称的性质进行证明．
证法一：用全等三角形
∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C
又∵ AD＝AE，∴ ∠ADF＝∠AEF．
又∵ ∠ADF＝∠B＋∠BAD，∠AEF＝∠C＋∠CAE，
∴ ∠BAD＝∠CAE
在△ABD和△ACE中，
AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴ △ABD≌△ACE（SAS）．∴ BD＝CE．
证法二：用中线
如图14-3-20，过A点作AF⊥BC于F．
∵ AB＝AC，AF⊥BC，∴ BF＝CF（三线合一）．
又∵ AD＝AE，AF⊥DE，
∴ DF＝EF（三线合一）．
∴ BF－DF＝CF－EF，∴ BD＝CE．
证法三：用轴对称
过A作BC边上的垂线，垂足为F．
∵ AB＝AC，AF⊥BC，
∴ △ABC关于直线AF对称，∴ BF＝CF．
同理，DF＝EF．∴ BF－DF＝CF－EF．
即BD＝CE．
【说明】从以上的证明可以看出，一个结论有多种证明途径和证明方法．
11．证明角相等的方法
到目前为止，学过的证明角相等的方法，有以下几种：
（1）角平分线的定义及性质．
（2）全等三角形的对应角相等（在两个三角形中）．
（3）等边对等角（在一个三角形中）．
（4）轴对称的性质．
（5）找第三等量角（如∠A＝∠C，∠B＝∠C，则∠A＝∠B）．
（6）作辅助线，创造条件．
例如：如图14-3-21，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2．
求证：∠BAD＝∠CAD．
分析：要证∠BAD＝∠CAD，因两角在两个三角形中，可考虑选用全等三角形和角平分线，以及轴对称进行证明．
证法一：用全等三角形
∵ ∠1＝∠2，∴ DB＝DC
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC，DB＝DC，AD＝AD，
∴ ∠ABD≌△ACD（SSS）．∴ ∠BAD＝∠CAD．
证法二：用轴对称
∵ ∠1＝∠2，∴ DB＝DC
∴ 点D在BC的垂直平分线上．
又∵ AB＝AC，∴ A点也在BC的垂直平分线上．
∴ △ABD与△ACD关于直线AD对称．
∴ ∠BAD＝∠CAD（轴对称的性质）．
证法三：用角平分线
∵ ∠1＝∠2，∴ DB＝DC．又∵ AB＝AC，
∴ 点A、D都在BC的垂直平分线上．
∴ AD也为∠BAC的平分线（三线合一）．
∴ ∠BAD＝∠CAD．
例如：如图14-3-22，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F．求证：∠B＝∠CAF．
分析：要证∠B＝∠CAF，根据全等三角形和等腰三角形已不可能，角平分线也用不上，可考虑用第三等量角．
证明：∵ EF垂直平分AD，∴ FA＝FD．
∴ ∠1＝∠3＋∠4．
又∵ ∠ADC为△ABD的外角，
∴ ∠1＝∠B＋∠2．∴ ∠B＋∠2＝∠3＋∠4．
又∵ ∠2＝∠3，∴ ∠B＝∠4．
即∠B＝∠CAF．
12．三角形中的不等关系
（1）大边对大角：
在一个三角形中，如果两条边不等，那么这两条边所对的角也不等，并且较大的边所对的角也较大，简称“大边对大角”．
如图14-3-23，在△ABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B
（2）大角对大边：
在一个三角形中，如果两个角不等，那么这两个角所对的边也不等，并且较大的角所对的边较大，简称“大角对大边”．
如图14-3-23，在△ABC中，若∠C＞∠B，则AB＞AC．
【说明】（1）上述两个定理的使用条件是在一个三角形中，否则不成立；
（2）上述不等关系具有传递性，即△ABC中的三边分别为a、b、c，若a＞b，b＞c则a＞c；同样所对的角也如此．若△ABC中，∠A＞∠B，∠B＞∠C，则∠A＞∠C
例如：判断下列说法是否正确，为什么？
（1）在一个三角形中，若最长边所对的角为锐角，则此三角形为锐角三角形．
（2）直角三角形中，斜边最长．
（3）钝角三角形中，钝角所对的边不一定是最长边．
分析：此题目的在于考查三角形中边、角不等关系的灵活应用情况．
解：（1）正确．因最长边对的角是最大角，而最大角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形．
（2）正确．因为直角三角形中，直角最大，那么斜边应是最长的．
（3）不正确．因为钝角三角形中，钝角最大，它所对的边应该最大，所以，上述说法不正确．
再如：已知△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的中线．
求证：∠BAD＜∠CAD
分析：要比较两个角的大小，需将其放入同一个三角形中．如何放入一个三角形中，通常采用平移法，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，则△BDE≌△CDA，有∠E＝∠CAD，BE＝AC，在△ABE中，AB＞BE．则∠E＞∠BAD，即∠BAD＜∠CAD成立．
证明：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE
在△ADC和△EDB中，AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，BD＝DC，
∴ △ADC≌△EDB（SAS）．∴ ∠CAD＝∠E，AC＝BE．
又∵ AB＞AC，∴AB＞BE．
在△ABE中，∵ AB＞BE，∴ ∠E＞∠BAD．
又∵ ∠E＝∠CAD，∴ ∠CAD＞∠BAD
即∠BAD＜∠CAD．
【说明】此题证明的关键是将原来在两个三角形中的量：AB、AC和∠BAD、∠CAD，通过辅助线移至一个三角形ABE中，而这种移法较为常用．
【题目变式1】
如图14-3-25，在△ABC中，AB＞AC，AD为角平分线．求证：BD＞CD．
证明：在AB上截取AE＝AC，连接DE．
则△ADE≌△ADC（SAS）．∴ DE＝DC，∠3＝∠4．
又∵ ∠BED＞∠3，∴ ∠BED＞∠4．又∵ ∠4＞∠B，∴ ∠BED＞∠B．
∴ BD＞DE．即BD＞DC
【题目变式2】
如图14-3-26，在△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高．求证：∠BAD＞∠CAD
证明：在△ABC中，∵ AB＞AC，
∴ ∠B＜∠C．又∵ AD⊥BC于D，
∴ ∠B＋∠BAD＝90°，∠C＋∠CAD＝90°．
∴ ∠B＋∠BAD＝∠C＋∠CAD．
而∠B＜∠C，∴ ∠BAD＞∠CAD．
13．得到等腰三角形的方法
（1）如图14-3-27，一直线平行于等腰三角形底边，与两腰（或两腰的延长线）相交所得的三角形是等腰三角形．如图中，△ADE是等腰三角形．
（2）把一张对边平行的纸，像图14-3-28那样折叠，重合部分是一个等腰三角形．如图中，△FBD是等腰三角形．
（3）等腰三角形两底角的平分线的交点与底边两端点组成等腰三角形．
（4）等腰三角形两腰上的高的交点与底边两端点构成等腰三角形．
（5）等腰三角形两腰上的中线的交点与底边两端点构成等腰三角形．
（6）36°角为顶角的等腰三角形，底角的平分线把原等腰三角形分成两个等腰三角形．
（7）90°角为顶角的等腰直角三角形，顶角的平分线把原三角形分成两个等腰直角三角形．
热心网友
时间：2023-10-14 21:12
当然如果你有什么不会的题目，我也可以帮你解答。
祝学习愉快！
如有帮助，望采纳
热心网友
时间：2023-10-14 21:12
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）
3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
6等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)
7等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴
知道这些，就没有什么难点了。
热心网友
时间：2023-10-14 21:13
如：
1、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
2、等腰三角形的性质：
a.两腰相等
b.两底角相等
c.“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
3、等腰三角形的判定：
a)有两条边相等的三角形是等腰三角形
b)有两个角相等的三角形是等腰三角形
4、等腰三角形有两个特殊图形：
1）等腰直角三角形：
a.等腰直角三角形的性质：顶角等于90°，底角等于45°，两直角边相等
b.等腰直角三角形的判定：
顶角为90°的等腰三角形
底角为45°的等腰三角形
2）等边三角形：
a.等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°
b.等边三角形的判定：
a)三条边都相等的三角形是等边三角形
b)三个角都相等的三角形是等边三角形
c)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
