已知a,b为正实数且a²+2b²=2求a+b的最大值求多种解法
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发布时间:2023-09-11 04:25
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时间:2023-09-11 18:22
[方法1]
令a+b=m,则:a=m-b,又a^2+2b^2=2,∴(m-b)^2+2b^2-2=0,
∴3b^2-2mb+m^2-2=0。
∵b是实数,∴判别式=(-2m)^2-4×3(m^2-2)≧0,∴m^2-3m^2+6≧0,
∴m^2≦3,自然有:m>0,∴0<m≦√3。
∴m的最大值是√6,即:(a+b)的最大值是√3。
[方法2]
∵a^2+2b^2=2,∴可令a=√2cosu、b=sinu,得:
a+b=√2cosu+sinu=√3[(√2/√3)cosu+(1/√3)sinu]。
引入辅助角t,使sint=√2/√3、cost=1/√3,得:
a+b=√3(sintcosu+costsinu)=√3sin(t+u)≦√3,∴(a+b)的最大值是√3。
[方法3]
由柯西不等式,有:
(a+b)^2=[a+(1/√2)(√2b)]^2≦(1+1/2)(a^2+2b^2)=(3/2)×2=3,
又a、b都是正数,∴a+b≦√3,∴(a+b)的最大值是√3。
[方法4]
令a=x、b=y、a+b=x+y=u。
∵a、b都是正数,∴当x+y=u与x^2+2y^2=2在第一象限相切时,u取得最大值。
对x^2+2y^2=2两边求导数,得:2x+2yy′=0,∴y′=-x/(2y)。
设x+y=u与x^2+2y^2=2在第一象限相切于(m,n),则有:-m/(2n)=-1,
∴m=2n,∴(a+b)的最大值=m+n=3n。
显然有:m^2+2n^2=2,∴6n^2=2,∴n^2=1/3,∴n=1/√3,∴3n=√3。
于是,(a+b)的最大值是√3。
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