什么是正交变换?45
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发布时间:2023-10-30 19:20
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热心网友
时间:2024-10-22 04:30
1.正交变换x=Py:指矩阵P是正交矩阵,即P的列(行)向量两两正交,且长度为1。
正交矩阵满足:P^TP=PP^T=E,即P^(-1)=P^T.
2.正交变换的作用:
①正交变换可以化二次型为标准型。在二次型中,我们希望找到一个可逆矩阵C,经可逆变换x=Cy,使二次型f=x^TAx=(Cy)^TACy=y^T(C^TAC)y变成标准型,也就是要使C^TAC为对角阵。
由实对称矩阵的对角化知,任给对称阵A,总有正交矩阵P,使P^(-1)AP为对角阵,因为正交矩阵P^(-1)=P^T,所以P^TAP为对角阵。
这样,如果我用的是正交变换x=Py,不就可以把二次型f=x^TAx化为f=y^T(P^TAP)y=y^T(P^(-1)AP)y=y^TΛy (其中,Λ为对角阵)了吗。如此一来,就用正交变换实现了二次型的标准化。
这是正交变换的第一个作用。
②正交变换可以研究图形的几何性质。因为正交矩阵满足:P^TP=PP^T=E,所以对于正交变换x=Py,有|x|=√(x^Tx)=√(y^TP^TPy)=√(y^Ty)=|y|.其中,|x|表示向量x的长度。
由此可见,经过正交变换后,|x|=|y|,即向量长度保持不变。
同理可证=,其中 ,>表示两向量的内积。即两向量经同一正交变换后,两向量的内积不变,而刚刚证过,他们的长度也不变,所以两向量的交角不变。
由于正交变换保持向量长度、内积不变,因而保持两向量夹角及正交性不变。因此施以正交变换后,图形的几何形状不变,可以利用正交变换研究图形的几何性质。
这是正交变换的第二个作用。
完~打字好累~哦~
如有问题,欢迎追问。
热心网友
时间:2024-10-22 04:30
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