a,b,c是整数，证明ax+by=c在整数范围内有解的充要条...2

发布网友发布时间：2023-11-03 04:16

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热心网友时间：2024-07-19 23:16

证明：设(a,b)=d
1)充分性：因为d=(a,b),所以存在x0,y0∈Z使ax0+by0=d,又d│c,所以c=dk
=k(ax0+by0)=a(kx0)+b(ky0),所以方程ax+by=c有整数解(kx0,ky0)
2)必要性：因为ax0+by0=c，x0,y0∈Z
d是a,b的最大公约数，所以d│a,d│b,故d│ax0+by0,即d│c

热心网友时间：2024-07-19 23:15

1）
x=(c-by)/a=c/a-by/a
y=(c-ax)/b=c/b-ax/b
c/a,c/b为整数
整数范围内有解的充要条件是（a,b）整除c

a,b互质
a*b*k=c，k自然数
x=bk,y=-ak为一组特解
通解：
x=b(t+k)
y=-a(t+a)
t取一切证书

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