高等数学,研究可微性,请问为什么研究可微性要先研究连续性与可导性...

可见，一元函数，可导即可微。

可以这样证明，且过程要严谨，但这样并不省力，因为可导性的证明是以连续性为“前提”的，也就是说，你在证明可导性的过程中必然已经先证明了连续性，然后再证明可导性，最后再证明一次连续性，所以比较啰嗦、不省力！不然，你先假设函数的连续性，进而证明可导性，再通过可导性证明连续性，这样必然会存...

一、连续性与可导性 函数的连续性是函数可导的必要条件之一。在某一点的连续意味着函数在该点附近有一个确定的值，并且可以通过这个值平滑地过渡到邻近的点。只有在连续的基础上，函数才有可能在该点具有导数，因为导数描述了函数值随自变量变化的速率。因此，如果一个函数在某点可导，那么它必定在该点...

1，一元函数：可导必然连续，连续推不出可导，可导与可微等价。2，多元函数：可偏导与连续之间没有联系，也就是说可偏导推不出连续，连续推不出可偏导。3，多元函数中可微必可偏导，可微必连续，可偏导推不出可微，但若一阶偏导具有连续性则可推出可微。4，对于多元函数来说：某点处偏导数存在与...

首先，可导函数必定连续，因为导数的定义要求函数在该点附近可近似为线性函数，而这必然意味着函数在该点附近无跳跃或间断。其次，可微函数是可导的特殊情况，即除了导数外，导数还必须连续。换句话说，如果一个函数在某点可微，那么该点处的导函数也必须在该点连续。这些关系展示了微积分中函数性质的层次...

可微的必要条件是偏导数存在，且充分条件是偏导数存在且连续。然而，连续和可微之间的关系在多元函数中更为复杂，一元函数中可导等价于可微，但在多元函数中，可偏导并不一定保证连续性或可微性，但若偏导数在某点具有连续性，则可推断该函数在该点可微。通过反例，我们可以看到连续性并不能直接推导出...

导数的连续性是区分可微和连续可微的关键因素。可微函数的导数可能不连续，而连续可微函数的导数连续。这意味着，在连续可微函数中，导数的变化是连续且平滑的，不存在突变。以单变量函数为例，如果一个函数在某点x=0处存在导数f'(x)，那么我们称该函数在x=0处可导。即使函数在x=0处可导，它仍然可能...

对于一元函数有，可微<=>可导=>连续 对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续。可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；可微与连续的关系：可微与可导是一样的。

连续性是函数在点间值的保持，而不保证导数的存在。一个不连续的函数肯定不可导，但连续的函数可能可导，也可能不可导。最后，柯西数列的概念与可微和极限紧密相关，它描述了数列在收敛时的局部稳定性，这在分析函数的性质时起到关键作用。总的来说，这些概念间的关联显示了数学分析中的细微差别和层次...

是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。不是所有的函数都有导数，若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。对于可导的函数f(x)，xf'(x)也是一个函数，称作f(x)的导...