请问一个积分参数变换问题，谢谢

发布网友发布时间：2022-04-21 07:23

共2个回答

热心网友时间：2022-06-18 16:46

θ和r是自己定义的变量，用来代换x和y的。也就是说，只要你的θ和r的取值能够保证，代换后的二重积分和原积分是等价的就可以了。
这里x，y的取值是一个圆x²+y²≤π，所以取的θ和r要使rcosθ和rsinθ也在这个区间，
显然r∈[0,√π]，θ∈[0,2π]时才有(rcosθ)²+y(rsinθ)²≤π
把原积分的x换成rcosθ,y换成rsinθ，θ的积分区间换成[0,2π]，r的积分区间换成[0,√π]就是代换后的二重积分了追问谢谢您的回答，不过有一点我不太懂，就是为什么x换成θ？而y换成r？什么决定的？谢谢！

热心网友时间：2022-06-18 16:46

直接套用，关键是积分的上下界需要计算。
这个面积积分的范围是一个半径为√π 的圆。
所以积分的上下界分别为 0 到√π 以及 0 到 2π。追问谢谢您的回答，不过有一点我不太懂，就是为什么x换成θ？而y换成r？什么决定的？谢谢！

追答这个不是把dx变成dθ,dy变成dr，而是在x^2+y^2<=π这个区域内积分的话，
这个区域是半径为根号π的一个圆围成的区域。而把dr从0积分到根号π，
dθ从0积分到2π的积分区域也是半径为根号π的一个圆围成的区域。
做这个变换以后要积分的那个式子形式上会比较简单，便于积分。