设n是正整数,如果1,2,3,…,2n的一个排列x1,x2,x3,…,x2n满足:在{1,2...
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发布时间:2024-04-11 06:47
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时间:2024-04-17 20:57
(I)当n=2时,具有性质P的排列有:
(2,1,3,4);(2,3,1,4);(4,1,3,2),(4,3,1,2)
(II)当n=3时,1,2,3,4,5,6的全排列数为A66; 1,4;2,5;3,6三对数中,至少有一对相邻的排列数为C13A22A55;至少有两对相邻C23A22A22A44;三对全相邻A33A22A22A22
所以,n=3时不具有性质P的排列的个数共有:A66-C13A22A55-C23A22A22A44-A33A22A22A22=240;
证明:(III)记A={(x1,x2,x3,…,x2n)|(x1,x2,x3,…,x2n)具有性质P}
B={(x1,x2,x3,…,x2n)|(x1,x2,x3,…,x2n)不具有性质P}
C={(x1,x2,x3,…,x2n)|恰有某一个i使得|xi-xi+1|=n,i≠1}
显然C是A的子集,而且(n+1,1,2,…,n,n+2,…,2n)∈A,(n+1,1,2,…,n,n+2,…,2n)?C,
所以C是A的真子集,所以A中元素个数大于C中元素个数;
考虑B中任一元素(y1,y2,y3,…,y2n),则|y2-y1|≠n,因此与y1相差n的数一定是某个yk,(k>2)
把y1放到yk的左边得到一个新排列(y2,y3,…,yk-1,y1,yk,…,y2n),这个排列一定是C的元素,
作映射(y1,y2,y3,…,y2n),→(y2,y3,…,yk-1,y1,yk,…,y2n),
不难证明这是一一对应,所以C中元素个数等于B中元素个数
综上A中元素个数大于B中元素个数
即对于任意n,具有性质P的排列比不具有性质P的排列多