如何证明三角形两边之和大于第三边
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发布时间：2022-05-06 08:59
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时间：2022-06-29 05:10
最简单的证法：两点之间线段最短。
证明过程如下：
（1）因为AC之间是线段，而AB+CB不是直线。
（2）所以AB+CB>AC。
（3）所以三角形两边之和必然大于第三边。
两点之间线段最短是一个公理。又名线段公理。比如把纸上的两个点重合，把纸折叠起来，那两个点就重合了，距离无限近。
扩展资料：
“三角形两边之和大于第三边”为其引申内容，不能使用它来证明“两点之间线段最短”。
“三角形两边之和大于第三边”亦可由欧几里得几何的五条公设直接导出（参见《几何原本》命题20），而由此可以证明两点之间的折线段中，直线段最短。
三角形的一些性质：
1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。
3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
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时间：2022-06-29 05:10
运用公理：两点之间线段最短，所以两边之和大于第三边，移项就得到两边之差小于第三边。
证明过程如下：
（1）因为AC之间是线段，而AB+CB不是直线。
（2）所以AB+CB>AC。
（3）所以三角形两边之和必然大于第三边。
两点之间线段最短是一个公理。又名线段公理。比如把纸上的两个点重合，把纸折叠起来，那两个点就重合了，距离无限近。
扩展资料：
“三角形两边之和大于第三边”为其引申内容，不能使用它来证明“两点之间线段最短”。
“三角形两边之和大于第三边”亦可由欧几里得几何的五条公设直接导出（参见《几何原本》命题20），而由此可以证明两点之间的折线段中，直线段最短。
三角形的一些性质：
1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。
3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
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时间：2022-06-29 05:11
1、三角形任意两条边的和大于第三边。
设三角形ABC，求证：AB+BC＞AC。
证明：
延长AB到D，使BD=BC，连接CD。
∵BD=BC，
∴∠D=∠BCD，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD＞∠BCD，
∴∠ACD＞∠D，
∵在△ADC中，∠ACD＞∠D，
∴AD＞AC（大角对大边），
∵AD=AB+BD=AB+BC，
∴AB+BC＞AC。
2、三角形任意两条边之差小于第三边。
设在三角形ABC，若AB＞BC，求证：AB-BC＜AC。
证明：
延长BC到D，使BD=AB，连接AD。
∵BD=AB，
∴∠D=∠BAD，
∵∠CAD=∠BAD-∠BAC=∠D-∠BAC，
∴∠CAD＜∠D
∵在△ACD中，∠CAD＜∠D，
∴CD＜AC（大角对大边），
∵CD=BD-BC=AB-BC，
∴AB-BC＜AC。
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时间：2022-06-29 05:11
三角形任意两条边的和大于第三边。
设三角形ABC，求证：AB+BC＞AC。
证明：
延长AB到D，使BD=BC，连接CD。
∵BD=BC，
∴∠D=∠BCD，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD＞∠BCD，
∴∠ACD＞∠D，
∵在△ADC中，∠ACD＞∠D，
∴AD＞AC（大角对大边），
∵AD=AB+BD=AB+BC，
∴AB+BC＞AC。
热心网友
时间：2022-06-29 05:12
构造三角形ABC，假设结论不成立，即存在AB+BC<=AC；
延长AB到D，使BD=BC，那么在三角形BCD中∠BCD=∠BDC，
因为AC>=AB+BC>AB，延长AB到E，使AE=AC，那么在三角形ACE中，∠AEC=∠ACE，
又三角形内角和定理可知：
180°=∠ACE+∠AEC+∠A = ∠A + 2∠AEC；
180°=∠CBD+∠BDC+∠BCD = ∠CBD + 2∠BDC；
又由外角和定理知：∠CBD = ∠A + ∠ACB；
综合上面三个式子：可知∠AEC = (1/2)∠ACB + ∠BDC > ∠BDC；(1)
若AC=AB+BC，那么AB+BE=AE=AC=AB+BC=AB+BD，知BD=BE，即D和E重合，
那么∠AEC = ∠BDC 与(1)式矛盾，不成立。
同理：若AC>AB+BC，那么BE>BD，此时∠BDC = ∠AEC + ∠DCE > ∠AEC，与(1)式矛盾，不成立。故在三角形中不存在两边的和小于或等于第三边。
即三角形两边的和大于第三边。
∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠
