等比数列除以等差数列的求和
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发布时间：2022-05-02 13:14
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热心网友
时间：2022-06-20 05:21
例如数列a, a^2, a^3,...,a^n与数列1,2,3...n相除，可以这样算：
通项公式：a(n)= a^n/n, 设n项和为S(n)，则
a(n)每项对a求导，有a'(n)=a^(n-1)，a'(n)的和为S'(n)=(a-a^(n+1))/(1-a),
S(n)就是S'(n)的积分，但这积分不是初等函数。
仅当|a|<1时，由于当n趋近于无穷大时，a^(n+1) 极限为0，则S'(n)极限=a/(1-a)，
可积分为初等函数，此时S(n)极限=-a-ln(1-a)
注：应注意，当|a|<1时，S(n)虽然形式上有两个负号，实际是正数。
热心网友
时间：2022-06-20 05:21
错位相减法。
Sn=1*1/3^1+3*1/3^2+...+(2n-1)*1/3^n
1/3Sn=
1*1/3^2+3*1/3^3+...+(2n-3)*1/3^n+(2n-1)*1/3^(n+1)
Sn-1/3Sn
=2/3Sn=1*1/3^1+2*1/3^2+...+2*1/3^n-(2n-1)*1/3^(n+1)
后面的应该容易算了。
打这些符号好累啊。
热心网友
时间：2022-06-20 05:22
Sn=a1/b1+(a1+d)/(b1q)+(a1+2d)/(b1q²) +……+(a1+(n-1)d)/(b1qⁿˉ¹)，
Sn/q=a1/(b1q)+(a1+d)/(b1q²)+(a1+2d)/(b1q³) +……+(a1+(n-1)d )/(b1qⁿ)，
Sn-Sn/q=a1/b1+d/(b1q)+d/(b1q²) +……+d/(b1qⁿˉ¹)-(a1+(n-1)d )/(b1qⁿ)，
Sn-Sn/q=a1/b1+d/b1×(qⁿˉ¹-1)/(qⁿ(1-q))-(a1+(n-1)d )/(b1qⁿ)，
Sn-Sn/q=a1/b1+d(qⁿˉ¹-1)/(b1qⁿ(1-q))-(a1+(n-1)d )/(b1qⁿ)，
∴Sn=a1q/(b1(1-q))+d(qⁿˉ¹-1)/(b1qⁿˉ¹(
解：设an=a1+(n-1)d，bn=b1qⁿˉ¹，Sn=a1/b1+ a2/b2+……+an/bn，
Sn=a1/b1+(a1+d)/(b1q)+(a1+2d)/(b1q²) +……+(a1+(n-1)d)/(b1qⁿˉ¹)，
Sn/q=a1/(b1q)+(a1+d)/(b1q²)+(a1+2d)/(b1q³) +……+(a1+(n-1)d )/(b1qⁿ)，
Sn-Sn/q=a1/b1+d/(b1q)+d/(b1q²) +……+d/(b1qⁿˉ¹)-(a1+(n-1)d )/(b1qⁿ)，
Sn-Sn/q=a1/b1+d/b1×(qⁿˉ¹-1)/(qⁿ(1-q))-(a1+(n-1)d )/(b1qⁿ)，
Sn-Sn/q=a1/b1+d(qⁿˉ¹-1)/(b1qⁿ(1-q))-(a1+(n-1)d )/(b1qⁿ)，
∴Sn=a1q/(b1(1-q))+d(qⁿˉ¹-1)/(b1qⁿˉ¹(1-q)²)-(a1+(n-1)d )/(b1qⁿˉ¹(1-q))。
0.5Sn=24/(1.12^2)+(24*2)/(1.12^3)+(24*3)/(1.12^4)+……+(24*7)/(1.12^8)+(24*8)/(1.12^9) Sn-0.5Sn=24/1.12+24/(1.12^2)+24/(1.12^3)+24/(1.12^4)+……+24/(1.12^8)-(24*8)/(1.12^9)=0.5Sn,Sn=48/1.12+48/(1.12^2)+48/(1.12^3)+48/(1.12^4)+……+48/(1.12^8)-(48*8)/(1.12^9)，发现48/1.12+48/(1.12^2)+48/(1.12^3)+48/(1.12^4)+……+48/(1.12^8)可以用等比数列公式求和，Sn就能求出。 以上方法叫错位相减法，与Sn相乘的系数就是等比数列的公比的倒数，这样就能求出等差数列除以等比数列的求和公式，建议不要死记公式，要掌握方
一、从通项公式可以看出，an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
二、从等差数列的定义、通项公式、前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1(类似地：p1+pn=p2+pn-1=p3+pn-2=…=pk+pn-k+1)，k∈{1,2,…,n}。
三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq。
若m+n=2p,则am+an=2ap。
等差数列和公式：Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)/2 d
等比数列求和公式：q≠1时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)
q=1时Sn=na1，(a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比)
一、从通项公式可以看出，an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
二、从等差数列的定义、通项公式、前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1(类似地：p1+pn=p2+pn-1=p3+pn-2=…=pk+pn-k+1)，k∈{1,2,…,n}。
三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq。
若m+n=2p,则am+an=2ap。
用这个亲[微笑][微笑]
热心网友
时间：2022-06-20 05:22
热心网友
时间：2022-06-20 05:23
