1.可测函数等价定义 2.反函数的可测性
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发布时间：2022-05-05 22:45
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时间：2022-06-28 06:00
一般化的定义：设（X,M）和（Y,N）是可测空间（M，N分别是X，Y中的可测集全体），f：X--->Y。如果对任意E∈N，有{x∈X|f(x)∈E}∈M.则f是（M，N）可测
勒贝格可测，即上面的N为Borel集全体，M为勒贝格可测集全体。
勒贝格可测有一个更一般的定义若对任意a，{x|f(x)>a,a∈R}是勒贝格可测，则f是勒贝格可测。
下面命题也成立：
（1）对任意a，{x|f(x)<=a,a∈R}可测，则f可测（证明：勒贝格可测集的余集可测）
（2）对任意a，{x|f(x)>=a,a∈R}可测，f可测
（证明：{x|f(x)>=a,a∈R}=∩{f>a-1/n，n是正自然数}是勒贝格可测集的可数交可测）
（3）对任意a，{x|f(x)<a,a∈R}可测，f可测(证明：2中集合的余集)
（4）对任意a，b，{x|b>f(x)>a,a∈R}可测，且{f=±∞}分别可测，f可测
（证明：对于任意c,{f>c}=(U{c<f<n})U{f=+∞},由条件右边可测，所以左边可测）
（4）中">"和"<"换成"<="">="都成立，但都需要{f=±∞}分别可测这个条件（不再详细证明了，思路同上，即化成可数交，可数并）
