已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线。当n≤y≤n+1(n=0,1...
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发布时间:2024-03-21 22:30
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时间:2024-03-24 03:22
解:(1)依题意f(0)=0,又由f(x1)=1,当0≤y≤1时,函数y=f(x)的图象是斜率为b0=1的线段,故由f(x1)-f(0)x1-0=1
得x1=1.
又由f(x2)=2,当1≤y≤2时,函数y=f(x)的图象是斜率为b的线段,故由f(x2)-f(x1)x2-x1=b,即x2-x1=1b得x2=1+1b.
记x0=0.由函数y=f(x)图象中第n段线段的斜率为bn-1,故得f(xn)-f(xn-1)xn-xn-1=bn-1.
又f(xn)=n,f(xn-1)=n-1;
所以xn-xn-1=(1b)n-1,n=1,2.
由此知数列{xn-xn-1}为等比数列,其首项为1,公比为1b.
因b≠1,得xn=∑k=1n(xk-xk-1)
=1+1b++1bn-1=b-(1b)n-1b-1,
即xn=b-(1b)n-1b-1.
(2)当0≤y≤1,从Ⅰ可知y=x,当0≤x≤1时,f(x)=x.
当n≤y≤n+1时,即当xn≤x≤xn+1时,由Ⅰ可知f(x)=n+bn(x-xn)(xn≤x≤xn+1,n=1,2,3).
为求函数f(x)的定义域,须对xn=b-(1b)n-1b-1(n=1,2,3,)进行讨论.
当b>1时,limn→∞xn=limn→∞b-(1b)n-1b-1=bb-1;
当0<b<1时,n→∞,xn也趋向于无穷大.
综上,当b>1时,y=f(x)的定义域为[0,bb-1);
当0<b<1时,y=f(x)的定义域为[0,+∞).
(3)证法一:首先证明当b>1,1<x<bb-1时,恒有f(x)>x成立.
用数学归纳法证明:
(ⅰ)由(2)知当n=1时,在(1,x2]上,y=f(x)=1+b(x-1),
所以f(x)-x=(x-1)(b-1)>0成立
(ⅱ)假设n=k时在(xk,xk+1]上恒有f(x)>x成立.
可得f(xk+1)=k+1>xk+1,
在(xk+1,xk+2]上,f(x)=k+1+bk+1(x-xk+1).
所以f(x)-x=k+1+bk+1(x-xk+1)-x=(bk+1-1)(x-xk+1)+(k+1-xk+1)>0也成立.
由(ⅰ)与(ⅱ)知,对所有自然数n在(xn,xn+1]上都有f(x)>x成立.
即1<x<bb-1时,恒有f(x)>x.
其次,当b<1,仿上述证明,可知当x>1时,恒有f(x)<x成立.
故函数y=f(x)的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点.
证法二:首先证明当b>1,1<x<bb-1时,恒有f(x)>x成立.
对任意的x∈(1,bb-1),存在xn,使xn<x≤xn+1,
此时有f(x)-f(xn)=bn(x-x0)>x-xn(n≥1),
所以f(x)-x>f(xn)-xn.
又f(xn)=n>1+1b++1bn-1=xn,
所以f(xn)-xn>0,
所以f(x)-x>f(xn)-xn>0,
即有f(x)>x成立.
其次,当b<1,仿上述证明,可知当x>1时,恒有f(x)<x成立.
故函数f(x)的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点.
热心网友
时间:2024-03-24 03:22
第一象限内,在Y=X和Y=X+1两条直线之间的所有区域