已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线。当n≤y≤n+1(n=0,1...
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发布时间：2024-03-21 22:30
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时间：2024-03-24 03:22
得x1=1．
又由f（x2）=2，当1≤y≤2时，函数y=f（x）的图象是斜率为b的线段，故由f(x2)-f(x1)x2-x1=b，即x2-x1=1b得x2=1+1b．
记x0=0．由函数y=f（x）图象中第n段线段的斜率为bn-1，故得f(xn)-f(xn-1)xn-xn-1=bn-1．
又f（xn）=n，f（xn-1）=n-1；
所以xn-xn-1=(1b)n-1，n=1，2．
由此知数列{xn-xn-1}为等比数列，其首项为1，公比为1b．
因b≠1，得xn=∑k=1n(xk-xk-1)
=1+1b++1bn-1=b-(1b)n-1b-1，
即xn=b-(1b)n-1b-1．
（2）当0≤y≤1，从Ⅰ可知y=x，当0≤x≤1时，f（x）=x．
当n≤y≤n+1时，即当xn≤x≤xn+1时，由Ⅰ可知f（x）=n+bn（x-xn）（xn≤x≤xn+1，n=1，2，3）．
为求函数f（x）的定义域，须对xn=b-(1b)n-1b-1(n=1，2，3，)进行讨论．
当b＞1时，limn→∞xn=limn→∞b-(1b)n-1b-1=bb-1；
当0＜b＜1时，n→∞，xn也趋向于无穷大．
综上，当b＞1时，y=f（x）的定义域为[0，bb-1)；
当0＜b＜1时，y=f（x）的定义域为[0，+∞）．
（3）证法一：首先证明当b＞1，1＜x＜bb-1时，恒有f（x）＞x成立．
用数学归纳法证明：
（ⅰ）由（2）知当n=1时，在（1，x2]上，y=f（x）=1+b（x-1），
所以f（x）-x=（x-1）（b-1）＞0成立
（ⅱ）假设n=k时在（xk，xk+1]上恒有f（x）＞x成立．
可得f（xk+1）=k+1＞xk+1，
在（xk+1，xk+2]上，f（x）=k+1+bk+1（x-xk+1）．
所以f（x）-x=k+1+bk+1（x-xk+1）-x=（bk+1-1）（x-xk+1）+（k+1-xk+1）＞0也成立．
由（ⅰ）与（ⅱ）知，对所有自然数n在（xn，xn+1]上都有f（x）＞x成立．
即1＜x＜bb-1时，恒有f（x）＞x．
其次，当b＜1，仿上述证明，可知当x＞1时，恒有f（x）＜x成立．
故函数y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点．
证法二：首先证明当b＞1，1＜x＜bb-1时，恒有f（x）＞x成立．
对任意的x∈(1，bb-1)，存在xn，使xn＜x≤xn+1，
此时有f（x）-f（xn）=bn（x-x0）＞x-xn（n≥1），
所以f（x）-x＞f（xn）-xn．
又f(xn)=n＞1+1b++1bn-1=xn，
所以f（xn）-xn＞0，
所以f（x）-x＞f（xn）-xn＞0，
即有f（x）＞x成立．
其次，当b＜1，仿上述证明，可知当x＞1时，恒有f（x）＜x成立．
故函数f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点．
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时间：2024-03-24 03:22
