什么是拉格朗日函数
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发布时间：2022-05-05 21:49
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时间：2022-06-28 04:09
拉格朗日父姓拉格朗日亚(Lagrangia).拉格明日在都灵出生受洗记录上的正式名字为约瑟普·洛德维科·拉格朗日亚(Giuseppe Lodovico,Lagrangia).父名弗朗切斯科·洛德维科·拉格朗日亚(Francesco Lodovico, Lagrangia);母名泰雷萨·格罗索(Teresa Grosso).他曾用过的姓有德·拉·格朗日(De la Grange),拉·格朗日(La Grange)等.去世后,法兰研究院给他写的颂词中,正式用现在姓名.
父系为法国后裔.曾祖是法国骑兵上校,到意大利后与罗马家族的人结婚定居;祖父任都灵的公共事务和防务局会计,又同当地人结婚.父亲也在都灵同一单位工作,共有11个子女,但大多数夭折,拉格朗日最大.
据拉格朗日本人回忆,如幼年家境富裕,可能不会作数学研究.父亲有一条家规:必须有一子继任他的职业,拉格朗日也不反对.但到青年时代,在数学家F.A.雷维里(Revelli)指导下学几何学后,萌发了他的数学天才.17岁开始专攻当时迅速发展的数学分析.
18岁时(1754),他曾用意大利语写出第一篇论文,是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商.寄给数学家G.法尼亚诺(Fagnano),并用拉丁语写出寄给在柏林的L.欧拉(Euler).可是当年8月他看到了公布的G.莱布尼兹(Leibniz)同J.伯努利(Bernoulli)的通信,正是这个内容,即后来的莱布尼兹公式.此不幸开端并未使拉格朗日灰心,9月给法尼亚诺的信中说他正研究等时曲线,并于年底开始研究变分极值问题.
拉格朗日在1755年8月12日写给普鲁士科学院数学部主任欧拉的信中,给出了用纯分析方法求变分极值的提要;欧拉在9月6日回信中称此工作很有价值.他本人也认为这是第一篇有意义的论文,对变分法创立有贡献.此成果使他在都灵出名.9月28日,年仅19岁的拉格朗日被任命为都灵皇家炮兵学校教授.从此走向数学研究的道路,逐步成为当时第一流的科学家,在数学,力学和天文学中都做出了历史性的重大贡献.其学术生涯自然地可分为三个时期.
都灵时期(1766年以前).拉格朗日任数学教授后,积极进行研究.1756年给欧拉的信中,开始把变分法用于力学,还把欧拉关于有心力的一个定理推广到一般动力学问题.欧拉把信送交上级P.莫培督(Maupertuis)和科学院院长.莫培督看到拉格朗日是他的最小作用原理的支持者,建议拉格朗日来普鲁士任讲座教授,条件比都灵优越,但拉格朗日谢绝.同年8月,他被任命为普鲁土科学院通讯院士,9月2日选为副院士.
1757年,以拉格朗日为首的一批都灵青年科学家,成立了一个科学协会,即都灵皇家科学院的前身.并从1759年开始,用拉丁语和法语出版学术刊物《都灵科学论丛》(Miscellanea Taurine- nsia,法语名Mélanges de Turin).前三卷刊登了拉格朗日几乎全部在都灵时期的论文.其中有关变分法,分析力学,声音传播,常微分方程解法,月球天平动,木卫运动等方面的成果都是当时最出色的,为后来他在这些领域内更大贡献打下了基础.此外他在岁差章动,大行星运动方面也有重要贡献.
1763年11月,都灵王朝代表去伦敦赴任时,带拉格朗日到巴黎.受到巴黎科学院的热烈欢迎,并初次会见J.R.达朗贝尔(d'Alembert).在巴黎停留六周后病倒,不能去伦敦.康复后遵照达朗贝尔意见,回国途中在日内瓦拜访了当时著名数学家D.伯努利(Daniel Bernoulli)和文学家F.伏尔泰(Voltaire),他们的看法对拉格朗日以后的工作有启发.
回到都灵后,拉格朗日的声望更高.朝野都认为他在都灵不能发挥才能.1765年秋,达朗贝尔写信给普鲁士国王腓特烈二世,热情赞扬拉格朗日,并建议在柏林给拉格朗日一个职位.国王同意后通知拉格朗日.但他回信表示不愿与欧拉争职位.1766年3月,达朗贝尔来信说欧拉决定离开柏林,并请他担任留下的职位.拉格朗日决定接受.待5月3日欧拉离开柏林去彼得堡后,拉格朗日正式接受普鲁士邀请,于8月21日离开都灵.
柏林时期(1766—1787).去柏林途经巴黎时,拉格朗日与达朗贝尔合作两周,于10月27日到达柏林.11月6日任命他为普鲁士科学院数学部主任.他很快就与院内主要骨干友好相处,如J.伯努利(Johann BernoulliⅢ)等.
1767年9月,拉格朗日同维多利亚·孔蒂(Vittoria Conti)结婚.他给达朗贝尔的信中说:"我的妻子是我的一个表妹,曾与我家人一起生活很长时期,是一个很好的家庭妇女."但她体弱多病,未生小孩,久病后于1783年去世.
在普鲁士科学院,拉格朗日的任务是每月宣读一篇论文,内容一般在《科学院文献》(Mémoires des l'Academie royale des scien-ces)以及《柏林科学院新文献》(Nouveaux memoires de l'Academie des Berlin)上发表.他还接受达朗贝尔的建议,经常参加巴黎科学院竞赛课题研究,并获得1772,1774,1776,1780年度的奖金.
拉格朗日在柏林期间完成了大量重大研究成果,为一生研究中的鼎盛时期,多数论文在上述两刊物中发表,少量仍寄回都灵.其中有关月球运动(三体问题),行星运动,轨道计算,两个不动中心问题,流体力学,数论,方程论,微分方程,函数论等方面的成果,成为这些领域的开创性或奠基性研究.此外,还在概率论,循环级数以及一些力学和几何学课题方面有重要贡献.他还翻译了欧拉和A.棣莫弗(De Moivre)的著作. 1782年给P.拉普拉斯(Laplace)的信中说:"我几乎写完《分析力学论述》(Traitéde Mécanique Analytique),但无法出版."拉普拉斯安排在巴黎出版,出书时已是1788年,拉格朗日已到巴黎了.此书成为分析力学的奠基著作.
1783年,老家建立"都灵科学院",任命拉格朗日为名誉院长.原出版刊物改为《都灵科学院综合论丛》(Mélanges des l'Acade-mie des sciences des Turin).拉格朗日也常寄论文回去发表.到1786年8月,因支持他的普鲁士国王腓特烈二世去世,决定离开柏林.他于1787年5月18日应巴黎科学院邀请动身去法国.
巴黎时期(1787—1813).拉格朗日1787年7月29日正式到巴黎科学院工作.由于他从1772年起就是该院副院土,这次来工作受到了更热情的欢迎,可惜达朗贝尔已在1783年去世.
到巴黎的前几年,他主要学习更广泛的知识,如形而上学,历史,宗教,医药和植物学等.1789年爆发资产阶级*,他只是有兴趣地旁观.1790年5月8日的制宪大会上通过了十进位的公制法,科学院建立相应的"度量衡委员会",拉格朗日为委员之一.8月8日,国民议会决定对科学院专政,三个月后又决定把A.L.拉瓦锡(Lavoisier),拉普拉斯,C.A.库伦(Coulomb)等著名院士清除出科学院.但拉格朗日被保留,并任度量衡委员会*.
1792年,丧偶9年的拉格朗日同天文学家勒莫尼埃(LeMonnier)的女儿何蕾-弗朗索瓦-阿德莱德(Renée-Francoise- Adelaide)结婚,虽未生儿女,但家庭幸福.
1793年9月*决定逮捕所有在敌国出生的人,经拉瓦锡竭力向当局说明后,把拉格朗日作为例外.1795年成立国家经度局,统一管理全国航海,天文研究和度量衡委员会,拉格朗日是委员之一.同年成立的两个法国最高学府:师范学校和综合工科学校中,拉格朗日等为首批教授.在取消对科学院的专政后,1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院,选举拉格朗日为第一分院(即科学院)的数理委员会*.此后他才重新进行研究工作,但主要是整理过去的工作,并结合教材编写完成一批重要著作.
《分析力学论述》于1788年出版后,拉格朗日就着手把书中的原理和方法推广到一般的情况.他在1810年前发表的一些论文,
如在《法兰西学院文献》(Memoires de l' Institute)中刊登的"关于任意常数变异法在所有力学问题中的一般理论"(Memoirs sur
la théorie génèrale de la variatiou des constantes arbitrairesdans tons les problèmes de la mécanique,1809年3月宣读)等,都是为修改出第二版作准备.第二版更名为《分析力学》(Mé-canique analytique),分两卷,上卷于1811年出版,下卷直到1816年才印出,拉格朗日已去世三年.
他在师范学校的教材《师范学校数学基础教程》(Les le consélèmentaires sur les Mathématique donnés à l'cole Normale)于1796年出版,后来收进《拉格朗日文集》(Oeuvres de Lagrange,下面简称《文集》),第七卷的内容他在1812年作过大量充实.
1798年出版的《论任意阶数值方程的解法》(Traité de la ré-solution des éqnations numériques de tous les degrés),总结了早年在方程式论方面的成果,并加以系统化,充实后于1808年再版.
关于函数论方面他出版了两本历史性著作.一是《解析函数论,含有微分学的主要定理,不用无穷小,或用在消失的量,或极限与流数等概念,而扫结为代数分析艺术》(Theorie des fonctionsanalytiques,contenant les principes calcul diffèrentiel dégagés de toute considération d'infiniment petits, d'éranouissa-nts, de limites et de fluxions, et réits à l'analyse algébrique de quantités finies),1797年出版,1813年再版;另一本《函数计算教程》(Lecons sur le calcul des fonctions), 1801年出版,由师范学校讲义改编.
1799年雾月政变后,拿破仑(Napoleon)提名拉格朗日等著名科学家为上议院议员及新设的勋级会荣誉军团成员,封为伯爵;还在1813年4月3日授予他帝国大十字勋章.此时拉格朗日已重病在身,终于在4月11日晨逝世.在葬礼上,由议长拉普拉斯代表上议院,院长拉赛佩德(Lacépède)代表法兰西研究院致悼词.意大利各大学都举行了纪念活动,但柏林未进行任何活动,因当时普鲁士加入反法联盟.
主要贡献评述
拉格朗日在数学,力学和天文学三个学科中都有重大历史性贡献,但他主要是数学家,研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力.全部著作,论文,学术报告记录,学术通讯超过500篇.
拉格朗日的学术生涯主要在18世纪后半期.当对数学,物理学和天文学是自然科学主体.数学的主流是由微积分发展起来的数学分析,以欧洲*为中心;物理学的主流是力学;天文学的主流是天体力学.数学分析的发展使力学和天体力学深化,而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力.当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献.下面就拉格朗日的主要贡献分别评述.
数学分析的开拓者 牛顿和莱布尼兹以后的欧洲数学*为两派.英国仍坚持牛顿在《自然哲学中的数学原理》中的几何方法,进展缓慢;欧洲*则按莱布尼兹创立的分析方法(当时包括代数方法),进展很快,当时叫分析学(analysis).拉格朗日是仅次于欧拉的最大开拓者,在18世纪创立的主要分支中都有开拓性贡献.
1.变分法.这是拉格朗日最早研究的领域,以欧拉的思路和结果为依据,但从纯分析方法出发,得到更完善的结果.他的第一篇论文"极大和极小的方法研究"(Recherches sur la méthode demaximis et minimies)[2]是他研究变分法的序幕; 1760年发表的"关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法"(Essai d'unenouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima desformules integrales indéfinies)[3]是用分析方法建立变分法的代表作.发表前写信给欧拉时,称此文中的方法为"变分方法"(themethod of variation).欧拉肯定了,并在他自己的论文中正式将此方法命名为"变分法"(the calculus of variation).变分法这个分支才真正建立起来.
拉格朗日方法是对积分
进行极值化,函数y=y(x)待定.他不象欧拉和前人用改变极大或极小化曲线的个别坐标的办法,而是引进通过端点(x1,y1),(x2,y2)的新曲线
y(x)+δy(x),
δy(x)叫曲线y(x)的变分.J相应的增量△J按δy,δy′展开的一,二阶项叫一次变分δJ和二次变分δ2J.他用分析方法证明了δJ为零的必要条件就是欧拉方程
他达继续讨论了端点变动时的情况以及两个自变量的重积分的情况,使这个分支继续发展.1770年以后,拉格朗日达研究了被积函数f包含高阶导数的单重和多重积分时的情况,现在已发展成为变分法的标准内容.
2.微分方程.早在都灵时期,拉格朗日就对变系数常微分方程研究做出重大成果.他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程,并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程的伴随方程,就是原方程的齐次方程.他还把欧拉关于常系数齐次方程的结果推广到变系数情况,证明了变系数齐次方程的通解可用一些独立特解乘上任意常数相加而成;而且在知道方程的m个特解后,可以把方程降低m价.
在柏林时期,他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献,在1774年完成的"关于微分方程特解的研究"(Sur les intégralesparticulieres des equations différentielles)[22]中系统地研究了奇解和通解的关系,明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法;还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线.当然,他的奇解理论还不完善,现代奇解理论的形式是由G.达布(Darboux)等人完成的.
常微分方程组的研究在当时结合天体力学中的课题进行.拉格朗日在1772年完成的"论三体问题"(Essai sur le problémedes trois corps)[8]中,找出了三体运动的常微分方程组的五个特解:三个是三体共线情况;两个是三体保持等边三角形;在天体力学中称为拉格朗日平动解.他同拉普拉斯一起完善的任意常数变异法,对多体问题方程组的近似解有重大作用,促进了摄动理论的建立.
拉格朗日是一阶偏微分方程理论的建立者,他在1772年完成的."关于一阶偏微分方程的积分"(Sur l'integration des équationau differences partielles premier order)[21]和1785年完成的"一阶线性偏微分方程的一般积分方法"(Méthode génèrale pourintégrer les equations partielles premier order lorsque cesdifferences ne sont que linèaires)[23]中,系统地完成了一阶偏微分方程的理论和解法.
他首先提出了一阶非线性偏微分方程的解分类为完全解,奇解,通积分等,并给出它们之间的关系.还对形如
的非线性方程,化为解线性方程
后来又进一步证明了解线性方程
Pp+Qq=R(P,Q,R为x,y,z的函数)(5)
与解
等价,而解(6)式又与解常微分方程组
等价.(5)式至今仍称为拉格朗日方程.有趣的是,由上面已可看出,一阶非线性偏微分方程,可以化为解常微分方程组.但拉格朗日自己却不明确,他在1785年解一个特殊的一阶偏微分方程时,还说不能用这种方法,可能他忘记了自已在1772年的结果.现代也有时称此方法为拉格朗日方法,又称为柯西(Cauchy)的特征方法.因拉格朗日只讨论两个自变量情况,在推广到n个自变量时遇到困难,而后来由柯西在1819年克服.
3.方程论.18世纪的代数学从属于分析,方程论是其中的活跃领域.拉格朗日在柏林的前十年,大量时间花在代数方程和超越方程的解法上.
他在代数方程解法中有历史性贡献.在长篇论文"关于方程的代数解法的思考" (Réflexions sur le resolution algébrique desequations,《全集》Ⅲ, pp 205—421)中,把前人解三,四次代数方程的各种解法,总结为一套标准方法,而且还分析出一般三,四次方程能用代数方法解出的原因.三次方程有一个二次辅助方程,其解为三次方程根的函数,在根的置换下只有两个值;四次方程的辅助方程的解则在根的置换下只有三个不同值,因而辅助方程为三次方程.拉格朗日称辅助方程的解为原方程根的预解函数(是有理函数).他继续寻找5次方程的预解函数,希望这个函数是低于5次的方程的解,但没有成功.尽管如此,拉格朗日的想法已蕴含着置换群概念,而且使预解(有理)函数值不变的置换构成子群,子群的阶是原置换群阶的因子.因而拉格朗日是群论的先驱.他的思想为后来的N.H.阿贝尔(Abel)和 E.伽罗瓦(Galois)采用并发展,终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题.
拉格朗日在1770年还提出一种超越方程的级数解法.设p为方程
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