在R上能定义多少个数域。就是说{A| A包含于R，A是数域}，这个集合的基数是多少？
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发布时间：2022-04-23 20:24
共4个回答
热心网友
时间：2023-10-09 00:18
首先，R对Q的超越次数是c，也就是说存在c个代数独立的实数{x_k}可以生成实数域，或者更弱一点只要说明一组代数独立的实数{y_k}的势小于c的时候由{y_k}无法生成R即可，不需要用到超越基的存在性。
再取上述超越基{x_k]的任何非空子集{y_k}，由{y_k}生成的数域属于V，并且不同的子集生成的域不同，所以|V|>=2^c。
另一方面V是实数的幂集的子集，必有|V|<=2^c，所以|V|=2^c。
一般来讲讨论这类问题需要承认选择公理，有时甚至需要连续统假设，这样讨论起来比较方便。对于该问题而言CH肯定不必要，但能用于简化第1步的证明；AC是否必要我不太清楚，上述过程中用到了，不过我感觉未必是必需的。
热心网友
时间：2023-10-09 00:18
1，任何数域都包含有理数域Q。
即Q是最小的数域。
证明：F必有一个非零元素a.
由于F为数环，所以0 = a - a属于F
1 = a/a 属于F
0和1都属于F
那么2 = 1+1
3 = 2+1.。。。。自然数N都属于F
-n = 0 - n 也属于F
故整数集合Z都属于F
那么a/b 也属于F（其中a,b为整数）
这样，任何一个数域都包含Q
2，制造一个数域F
它的范围是这样的 包含有理数，及有理数与一个的无理数的积，比如a∈Q，a*√2 （a乘以根号2）
证明：
a，b∈Q
a*√2+b*√2=（a+b）*√2 ∈F
a*√2-b*√2=（a-b）*√2 ∈F
a*√2*（b*√2）=2ab ∈F
a*√2/（b*√2）=a/b∈F
所以F是数域
很明显这样的数域有无数个
热心网友
时间：2023-10-09 00:19
满足下面条件的 就是 数域
1）包含 0 ， 1
2）对四则运算法则 封闭
显然 任何数域都包含有理数域Q，也就是有理数域是最小的数域
所谓 集合的基数 是指 就是这集合里面元素的个数 ，也叫集合的 势
这个 集合是跟 自然数集 对等
也就是 说 他的 势跟 自然数集 相同
自然数集 N = {1, 2, 3, ...} 及其无限子集。把所有与 N 能一一对应的集为可数集。N 的所有无限子集都能与 N一一对应！把N的基数称为Nο(读做阿列夫零，阿列夫是希伯来文的第一个字母)，是最少的超穷基数（transfinite cardinal numbers）。
热心网友
时间：2023-10-09 00:19
真要努力啊.....................
