设f（x）是定义在[a，b]上的函数，用分点T：a=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…xn=b将区间[a，b]任意划分成n个小

发布网友发布时间：2022-07-27 10:47

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热心网友时间：2023-10-25 20:08

（1）∵f（x）=x²在[0，1]上是增函数∴对任意划分Tf（x_n）＞f（x_n-1）
|f（x_i）-f（x_i-1）|=f（x₁）-f（x₀）+…+f（x_n）-f（x_n-1）=f（1）-f（0）=1
取常数M≥1，则和式

i＝1

|f(xi)?f(xi?1)|≤M（i=1，2，3…n）恒成立
所以函数f（x）在[0，1]是有界变差函数
（2）∵函数f（x）是[a，b]上的单调递减函数
任意的划分T，Ta=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=b
∴

i＝1

i＝1

|f(xi)?f(xi?1)|≤k|x1?x2|=k

i＝1

|x1?x2|=k（b-a）
取常数M=k（b-a）
由有界变差函数定义知f（x）为有界变差函数．