正弦、余弦定理公式及推导方式,高中数学竞赛几何常用求解方法(平面)
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发布时间:2022-06-15 13:42
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时间:2023-10-25 10:01
a/sinA=b/sinB=c/sinC
正弦定理
a2=b2+c2-2bccosA
余弦定理1.在△ABC中,tanB=1,tanC=2,b=100,求a.
2.在△ABC中,A、B、C相对应的边分别是a、b、c,求acosB+bcosA.
3.在△ABC中,A、B、C相对应的边分别是a、b、c,若(a+b-c)·(sinB+sinB-sinC)=3asinB,求角C的大小。1.在△ABC中,tanB=1,tanC=2,b=100,求a.
因为A、B、C均为△ABC的内角
所以,A、B、C∈(0,180°)
已知,tanB=1
所以,B=45°
则,sinB=cosB=√2/2
又,tanC=2>0
所以,C∈(0,90°)
所以,sinC=2/√5,cosC=1/√5
而,sinA=sin[180°-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
=(√2/2)*(2/√5)+(√2/2)*(1/√5)
=(√2/2)*(3/√5)
=3/√10
由正弦定理有:a/sinA=b/sinB得到:
a/(3/√10)=100/(√2/2)
所以,a=300*√2/√10=60√5
2.在△ABC中,A、B、C相对应的边分别是a、b、c,求acosB+bcosA.
acosB+bcosA
=a*[(a^2+c^2-b^2)/(2ac)]+b*[(b^2+c^2-a^2)/(2bc)]
=(a^2+c^2-b^2)/(2c)+(b^2+c^2-a^2)/(2c)
=(a^2+c^2-b^2+b^2+c^2-a^2)/(2c)
=2c^2/(2c)
=c