在数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列
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发布时间：2022-09-06 08:00
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时间：2023-08-24 04:50
（1）数列Cn是等比数列，证明如下:
设an=a1*q^(n-1);bn=b1*p^(n-1);则Cn=(b1/a1)*(p/q)^(n-1);即cn是以b1/a1为首项，以p/q为公比的等比数列；
（2）求Cn的前n项和，则需要求出an的首项a1，公比q和bn的首项b1和公比p；
而易得到：
Sn=ln(a1)+ln(a2)+……+ln(an)=ln(a1)+ln(a1)+lnq+……+ln(a1)+(n-1)lnq
=n*ln(a1)+[1+2+……+(n-1)]ln(q)
=n*ln2+n(n-1)/2*ln(q);
由Sn/Tn=n/(2n+1)得到，a1/b1=1/3;所以b1=8;
同理:
Tn=n*ln8+n(n-1)/2*ln(p);
由Sn/Tn=n/(2n+1)得到：
[n*ln2+n(n-1)/2*ln(q)]/[n*ln8+n(n-1)/2*ln(p)]=n/(2n+1);
即就是：
[ln2+(n-1)/2*ln(q)]/[ln8+(n-1)/2*ln(p)]=n/(2n+1);
[ln2+(n-1)/2*ln(q)]*(2n+1)=[ln8+(n-1)/2*ln(p)]*n;
且由于ln8=3*ln2,
化简后得到：(2n+1)ln(q)=n*ln(p)+ln4
即就是：
ln[q^(2n+1)]=ln[4p^n]
所以：
[q^(2n+1)]/(4*p^n)=1;
即：[q*q^(2n)]/(4*p^n)=1;
上式对所有n都成立，则有：
q=4;且q^2=p;
故，可得q=4,p=16;
那么可得到{cn}的首项c1=8/2=4,公比k=p/q=4;
所以cn的前n项和为：
4(4^n-1)/3
