古典概型的题目怎么解?
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发布时间：2022-04-29 19:27
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时间：2022-06-21 00:59
古典概型具有两大特点：
（1） 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2） 每个基本事件出现的可能性相等。
下面谈谈求古典概型的概率的几种解题策略。
1.利用互斥事件或对立事件求概率
为避免复杂的计算，有时我们可以将所求的事件化为较简单易求的彼此互斥的事件的和事件，也可以利用对立事件来求。
例2 袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是多少？
分析：分类讨论或利用对立事件
解法1：从袋中任取2个球，共有6ⅹ5÷2=15种可能结果。“从中任取2个，则至多有一个黑球”看作是事件“都是白球”与“一个黑球，一个白球”这两个互斥事件的并。“都是白球”有3ⅹ2÷2=3种可能结果，“一个黑球，一个白球”有3ⅹ3=9种可能结果。设事件A为“至多有一个黑球”。则事件A包含的基本事件个数为9+3=12种。
因此，事件A的概率P(A)= =0.8
解法2：事件A的对立事件是：“两个都是黑球（记为事件B）”，事件B包含的基本事件个数是3ⅹ2÷2=3种。
因此，事件A的概率P(A)=1-P(B)=1- =0.8
2.利用公式
P(A)=事件A包含的基本事件个数/基本事件的总数
例1 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品。
（1）如果从中取出一件，然后放回，再任取一件，然后再放回，再任取一件，求连续3次取出的都是正品的概率。
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率。
分析：（1）为有放回抽样；（2）为不放回抽样
解：（1）有放回的抽取3次，按抽取顺序记录结果（x,y,z），则x,y,z都有10种可能，所以试验的所有结果为10ⅹ10ⅹ10=1000种。
设事件A为“连续3次取出的都是正品”，按上述计算方法，包含的基本事件共有8ⅹ8ⅹ8=512。
因此，事件A的概率是P(A)= =0.512
（2） 法1：可以看成不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同。按顺序记录结果（x,y,z）,则x有10种可能，y有9中可能，z有8中可能，所以试验的所有结果为10ⅹ9ⅹ8=720种。
设事件B为“3件都是正品”，按上述计算方法，包含的基本事件共有8ⅹ7ⅹ6=336种。因此，事件B的概率P(B)= ≈0.467
法2：可以看成不放回的抽样3次，无顺序，先按抽取顺序记录结果（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但(x,y,z),(x,z,y),(y,x,z),(y,z,x),(z,x,y),(z,y,x)是相同的，所以试验的所有可能结果为10ⅹ9ⅹ8÷6=120种，按同样方法计算，事件B包含的基本事件共有8ⅹ7ⅹ6÷6=56种。
因此事件B的概率P(B)= ≈0.467.
点评：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看成有顺序的，又可以看成无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误。
3.借助集合的交、并求概率
由于试验可能出现的结果的全体可以看成集合，即看成全集，每个事件都可以看成全集的一个子集，把事件与集合对应起来，就建立了集合与事件的概率之间的联系。因此我们可以借助集合的运算和性质简练地解决有关概率问题，且更容易理解。
例3 从1∽100中随机的取一个整数，求：（1）它同时能被6和8整除的概率；（2）它能被6或8整除的概率.
解析：（1）从中随机取一个整数，可能出现的结果有100种，被6和8整除的数即为被24整除的数，由1≤24n≤100（n∈ ）得1≤n≤4,所以被6和8整除的数可能出现的结果有4种，“被6和8整除”为事件A，则P(A)= = .
(2)由1≤6n1≤100，得1≤n1≤16，由1≤8n2≤100得1≤n2≤12，所以被6整除的数可能出现的结果有16种，被8整除的数可能出现的结果有12种，又被6和8整除的数可能出现的结果有4种，所以被6或8整除的数可能出现的结果有16+12-4=24。记“被6或8整除”为事件B,P(B)= = .
4．建立古典概率模型
古典概型具有应用性很强的特点，生活中许多现象经过分析，符合古典概率的特征。因此我们可以建立其模型得以解决。
例4 为调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物1200只作过标记后放回，一周后，又逮到这种动物1000只，其中有作过标记的100只，如何估算保护区内有这种动物多少只？
分析：首先这是生活中的实际问题，我们不可能一只一只地去数这种野生动物的数量，也完全没有必要，因为这样做浪费了必要的人力、物力和财力，因此需要我们建立数学模型。而按照概率方法可以很好的解决这一问题。
解：由于每只动物被逮到的可能性是相同的，而且所有的动物是有限的，故可以建立古典概型。设保护区内共有这种野生动物x只，每只动物被逮到的概率是相同的。所以x/1200=100/1000.按此方法估算，保护区内约有这种动物12000只。
点评；这道题正是运用数学知识，建立了古典概型，进行了估算。实践证明，这种按概率方法进行的估算，其误差是相当小的，而且节省了人力、物力和财力。
5．利用方程思想研究概率
例5 某班现有学生36人，现从中选出2人去完成一项任务，设每人当选是等可能的。若选出的2人性别相同的概率为0.5,求该班的男、女生人数.
思路点拔：首先求出所有基本事件总数；设男生n人，则女生36-n人，求出性别相同的基本事件数；列出方程求解；检验n值是否符合题意。
解：从36人任选2人，按出场顺序记录结果(x,y)，由于每人当选是等可能的，x有36种可能，y有35种可能，但是(x,y)与(y,x)是一样的，所以选取的所有结果有36ⅹ35÷2=630种。按同样的计算方法，如果所选2人都是男生，则有n（n-1)÷2种结果；如果所选2人都是女生，则有(36-n)(35-n)÷2种结果。设事件A为“性别相同”，则事件A包含的基本事件数为n(n-1)÷2+(36-n)(35-n)÷2种。由题意知：
P(A)=[ n(n-1)÷2+(36-n)(35-n)÷2]/630=1/2.
即 2n-36n+15=0
解得n=15，或n=21.
经检验可知都满足条件，所以该班男生15人、女生21人，或男生21人、女生15人。
6．利用计算机（或计算器）随即模拟试验的方法来估计事件的概率
随着计算机的普及，它已被广泛地应用到教学科研等许多领域，我们可以借助计算机模拟随机实验解决概率问题。
下面以掷硬币为例给出计算机产生随机数的方法。每个具有统计功能的软件都有随机函数。以Excel软件为例，打开Excel软件，执行下面的步骤：
1.选定A1格，键入”=RANDBETWEEN(0,1)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的0或1。
2.选定A1格，按Ctrl+C快捷键，然后选定要随机产生的0、1的格，比如A2至A100按Ctrl+V快捷键,则在A2100的数均为随机产生的0或1，这样我们很快就得到了100个随机产生的0、1，相当于做了100次随机试验。、
3.选定C1格，键入频数函数”=FREQUENCY(A1:A100,0.5)”，按Enter键，则此格中的数是统计A1至A100中，比0。5小的数的个数，即0出现的频数，也就是反面朝上的频数。
4.选定D1格，键入”=1-C1/100”,按Enter键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率，即正面朝上的频率。
上面用计算机模拟了掷硬币的试验，我们称这种方法为随机模拟方法
例6 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率为1/2，这三天中恰有一天下雨的概率是多少？
分析：这里试验出现的可能结果是有限个，并且每个结果的出现是等可能的，用计算机做模拟试验可以模拟下雨出现的概率是2/5。
解： 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机可以产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0、1、2、3、4表示下雨，用5、6、7、8、9、表示不下雨，这样 可以体现下雨的概率是1/2，因为是3天，所以三个随机数作为一组。例如，产生20组随机数
537 113 989 907 966 191 925 271 932 812
458 056 683 431 257 393 027 556 488 730
就相当于做了20次试验。在这组数中，如果恰有一个数在0、1、2、3、4中，则表示恰有一天下雨，它们分别是537、907、925、458、056、683、257、488，即共有8个数。我们得到三天恰有一天下雨的概率近似为8/20=2/5。
总之，生活中的许多问题，如：摸球、分房、生日、配对、彩票中奖、天气预测等问题往往可归结为古典概型来解决。
参考文献：
1 魏宗舒 概率论与数理统计教程 北京：高等教育出版社，1999
2 刘绍学 高中数学必修三 北京：人民教育出版社，2005
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