我是一名初三的学生,我对十字相乘不太明白,希望高手能帮我讲解,谢谢啦

发布网友 发布时间：2022-04-29 17:28

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热心网友 时间：2023-10-23 18:07

把下列各式多分解因式：

1.x2+6x－72； 2.(x+y) 2－8(x+y)+48；

3.x4－7x2+18； 4.x2－10xy－56y2.

答：

1.(x+12)(x－6)； 2.(x+y－12)(x+y+4)；

3.(x+3)(x－3)(x2+2)； 4.(x－14y)(x+4y).

我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式分解因式，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式分解因式.

对于二次项系数不是非曲直的二次三项式如何分解因式呢?这节课就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式.

二、新课

例1 把2x2－7x+3分解因式.

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分

别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数(只取正因数)：

2＝1×2＝2×1；

分解常数项：

3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1

�

2 3

1×3+2×1

=5

1 3

�

2 1

1×1+2×3

=7

1 －1

�

2 －3

1×(－3)+2×(－1)

=－5

1 －3

�

2 －1

1×(－1)+2×(－3)

=－7

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).

一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

a1 c1

�

a2 c2

a1a2+a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).

像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常

叫做十字相乘法.

例2 把6x2－7x－5分解因式.

分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种

2 1

�

3 －5

2×(－5)+3×1=－7

是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.

解 6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).

指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.

对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式，十字相乘法是

1 －3

�

1 5

1×5+1×(－3)=2

所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).

例3 把5x2+6xy－8y2分解因式.

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即

1 2

�

5 －4

1×(－4)+5×2=6

解 5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).

指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.

例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.

分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.

问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?

答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.

解 (x－y)(2x－2y－3)－2

=(x－y)[2(x－y)－3]－2

=2(x－y) 2－3(x－y)－2

=[(x－y)－2][2(x－y)+1]

=(x－y－2)(2x－2y+1).

1 －2

�

2 +1

1×1+2×(－2)=－3

指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.

三、课堂练习

1.用十字相乘法分解因式：

(1)2x2－5x－12； (2)3x2－5x－2；

(3)6x2－13x+5； (4)7x2－19x－6；

(5)12x2－13x+3； (6)4x2+24x+27.

2.把下列各式分解因式：

(1)6x2－13xy+6y2； (2)8x2y2+6xy－35；

(3)18x2－21xy+5y2； (4)2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2.

答案：

1.(1)(x－4)(2x+3)； (2)(x－2)(3x+1)；

(3)(2x－1)(3x－5)； (4)(x－3)(7x+2)；

(5)(3x－1)(4x－3)； (6)(2x+3)(2x+9).

2.(1)(2x－3y)(3x－2y)； (2)(2xy+5)(4xy－7)；

(3)(3x－y)(6x－5y)； (4)(3a－b)(5b－a).

四、小结

1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：

(1)正确的十字相乘必须满足以下条件：

a1 c1

在式子 � 中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜向的

a2 c2

两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b.

(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项.

(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数.

2.形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式.

3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4.

五、作业

1.用十字相乘法分解因式：

(1)2x2+3x+1； (2)2y2+y－6；

(3)6x2－13x+6； (4)3a2－7a－6；

(5)6x2－11xy+3y2； (6)4m2+8mn+3n2；

(7)10x2－21xy+2y2； (8)8m2－22mn+15n2.

2．把下列各式分解因式：

(1)4n2+4n－15； (2)6a2+a－35；

(3)5x2－8x－13； (4)4x2+15x+9

(5)15x2+x－2； (6)6y2+19y+10；

(7)20－9y－20y2； (8)7(x－1) 2+4(x－1)(y+2)－20(y+2) 2.

答案：

1.(1)(2x+1)(x+1)； (2)(y+2)(2y－3)；

(3)(2x－3)(3x－2); (4)(a－3)(3a+2);

(5)(2x－3y)(3x－y); (6)(2m+n)(2m+3n);

(7)(x－2y)(10x－y); (8)(2m－3n)(4m－5n).

2.(1)(2n－3)(2n+5); (2)(2a+5)(3a－7);

(3)(x+1)(5x-13); (4)(x+3)(4x+3);

(5)(3x－1)(5x+2); (6)(2y+5)(3y+2);

(7)－(4y+5)(5y－4); (8)(x+2y+3)(7x－10y－27).

参考资料：http://www.cbe21.com/subject/maths/printer.php?article_id=269

热心网友 时间：2023-10-23 18:08

双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以

原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕

=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

它表示的是下面三个关系式：

(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；

(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．

这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

例1 分解因式：

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；

(2)x2-y2+5x+3y+4；

(3)xy+y2+x-y-2；

(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．

解 (1)

原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．

(2)

原式=(x+y+1)(x-y+4)．

(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．

原式=(y+1)(x+y-2)．

(4)

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．

说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/22329831.html?si=1

热心网友 时间：2023-10-23 18:07

把下列各式多分解因式：

1.x2+6x－72； 2.(x+y) 2－8(x+y)+48；

3.x4－7x2+18； 4.x2－10xy－56y2.

答：

1.(x+12)(x－6)； 2.(x+y－12)(x+y+4)；

3.(x+3)(x－3)(x2+2)； 4.(x－14y)(x+4y).

我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式分解因式，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式分解因式.

对于二次项系数不是非曲直的二次三项式如何分解因式呢?这节课就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式.

二、新课

例1 把2x2－7x+3分解因式.

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分

别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数(只取正因数)：

2＝1×2＝2×1；

分解常数项：

3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1

�

2 3

1×3+2×1

=5

1 3

�

2 1

1×1+2×3

=7

1 －1

�

2 －3

1×(－3)+2×(－1)

=－5

1 －3

�

2 －1

1×(－1)+2×(－3)

=－7

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).

一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

a1 c1

�

a2 c2

a1a2+a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).

像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常

叫做十字相乘法.

例2 把6x2－7x－5分解因式.

分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种

2 1

�

3 －5

2×(－5)+3×1=－7

是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.

解 6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).

指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.

对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式，十字相乘法是

1 －3

�

1 5

1×5+1×(－3)=2

所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).

例3 把5x2+6xy－8y2分解因式.

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即

1 2

�

5 －4

1×(－4)+5×2=6

解 5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).

指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.

例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.

分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.

问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?

答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.

解 (x－y)(2x－2y－3)－2

=(x－y)[2(x－y)－3]－2

=2(x－y) 2－3(x－y)－2

=[(x－y)－2][2(x－y)+1]

=(x－y－2)(2x－2y+1).

1 －2

�

2 +1

1×1+2×(－2)=－3

指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.

三、课堂练习

1.用十字相乘法分解因式：

(1)2x2－5x－12； (2)3x2－5x－2；

(3)6x2－13x+5； (4)7x2－19x－6；

(5)12x2－13x+3； (6)4x2+24x+27.

2.把下列各式分解因式：

(1)6x2－13xy+6y2； (2)8x2y2+6xy－35；

(3)18x2－21xy+5y2； (4)2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2.

答案：

1.(1)(x－4)(2x+3)； (2)(x－2)(3x+1)；

(3)(2x－1)(3x－5)； (4)(x－3)(7x+2)；

(5)(3x－1)(4x－3)； (6)(2x+3)(2x+9).

2.(1)(2x－3y)(3x－2y)； (2)(2xy+5)(4xy－7)；

(3)(3x－y)(6x－5y)； (4)(3a－b)(5b－a).

四、小结

1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：

(1)正确的十字相乘必须满足以下条件：

a1 c1

在式子 � 中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜向的

a2 c2

两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b.

(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项.

(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数.

2.形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式.

3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4.

五、作业

1.用十字相乘法分解因式：

(1)2x2+3x+1； (2)2y2+y－6；

(3)6x2－13x+6； (4)3a2－7a－6；

(5)6x2－11xy+3y2； (6)4m2+8mn+3n2；

(7)10x2－21xy+2y2； (8)8m2－22mn+15n2.

2．把下列各式分解因式：

(1)4n2+4n－15； (2)6a2+a－35；

(3)5x2－8x－13； (4)4x2+15x+9

(5)15x2+x－2； (6)6y2+19y+10；

(7)20－9y－20y2； (8)7(x－1) 2+4(x－1)(y+2)－20(y+2) 2.

答案：

1.(1)(2x+1)(x+1)； (2)(y+2)(2y－3)；

(3)(2x－3)(3x－2); (4)(a－3)(3a+2);

(5)(2x－3y)(3x－y); (6)(2m+n)(2m+3n);

(7)(x－2y)(10x－y); (8)(2m－3n)(4m－5n).

2.(1)(2n－3)(2n+5); (2)(2a+5)(3a－7);

(3)(x+1)(5x-13); (4)(x+3)(4x+3);

(5)(3x－1)(5x+2); (6)(2y+5)(3y+2);

(7)－(4y+5)(5y－4); (8)(x+2y+3)(7x－10y－27).

参考资料：http://www.cbe21.com/subject/maths/printer.php?article_id=269

热心网友 时间：2023-10-23 18:07

双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以

原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕

=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

它表示的是下面三个关系式：

(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；

(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．

这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

例1 分解因式：

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；

(2)x2-y2+5x+3y+4；

(3)xy+y2+x-y-2；

(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．

解 (1)

原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．

(2)

原式=(x+y+1)(x-y+4)．

(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．

原式=(y+1)(x+y-2)．

(4)

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．

说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/22329831.html?si=1

热心网友 时间：2023-10-23 18:07

把下列各式多分解因式：

1.x2+6x－72； 2.(x+y) 2－8(x+y)+48；

3.x4－7x2+18； 4.x2－10xy－56y2.

答：

1.(x+12)(x－6)； 2.(x+y－12)(x+y+4)；

3.(x+3)(x－3)(x2+2)； 4.(x－14y)(x+4y).

我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式分解因式，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式分解因式.

对于二次项系数不是非曲直的二次三项式如何分解因式呢?这节课就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式.

二、新课

例1 把2x2－7x+3分解因式.

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分

别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数(只取正因数)：

2＝1×2＝2×1；

分解常数项：

3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1

�

2 3

1×3+2×1

=5

1 3

�

2 1

1×1+2×3

=7

1 －1

�

2 －3

1×(－3)+2×(－1)

=－5

1 －3

�

2 －1

1×(－1)+2×(－3)

=－7

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).

一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

a1 c1

�

a2 c2

a1a2+a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).

像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常

叫做十字相乘法.

例2 把6x2－7x－5分解因式.

分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种

2 1

�

3 －5

2×(－5)+3×1=－7

是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.

解 6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).

指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.

对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式，十字相乘法是

1 －3

�

1 5

1×5+1×(－3)=2

所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).

例3 把5x2+6xy－8y2分解因式.

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即

1 2

�

5 －4

1×(－4)+5×2=6

解 5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).

指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.

例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.

分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.

问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?

答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.

解 (x－y)(2x－2y－3)－2

=(x－y)[2(x－y)－3]－2

=2(x－y) 2－3(x－y)－2

=[(x－y)－2][2(x－y)+1]

=(x－y－2)(2x－2y+1).

1 －2

�

2 +1

1×1+2×(－2)=－3

指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.

三、课堂练习

1.用十字相乘法分解因式：

(1)2x2－5x－12； (2)3x2－5x－2；

(3)6x2－13x+5； (4)7x2－19x－6；

(5)12x2－13x+3； (6)4x2+24x+27.

2.把下列各式分解因式：

(1)6x2－13xy+6y2； (2)8x2y2+6xy－35；

(3)18x2－21xy+5y2； (4)2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2.

答案：

1.(1)(x－4)(2x+3)； (2)(x－2)(3x+1)；

(3)(2x－1)(3x－5)； (4)(x－3)(7x+2)；

(5)(3x－1)(4x－3)； (6)(2x+3)(2x+9).

2.(1)(2x－3y)(3x－2y)； (2)(2xy+5)(4xy－7)；

(3)(3x－y)(6x－5y)； (4)(3a－b)(5b－a).

四、小结

1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：

(1)正确的十字相乘必须满足以下条件：

a1 c1

在式子 � 中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜向的

a2 c2

两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b.

(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项.

(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数.

2.形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式.

3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4.

五、作业

1.用十字相乘法分解因式：

(1)2x2+3x+1； (2)2y2+y－6；

(3)6x2－13x+6； (4)3a2－7a－6；

(5)6x2－11xy+3y2； (6)4m2+8mn+3n2；

(7)10x2－21xy+2y2； (8)8m2－22mn+15n2.

2．把下列各式分解因式：

(1)4n2+4n－15； (2)6a2+a－35；

(3)5x2－8x－13； (4)4x2+15x+9

(5)15x2+x－2； (6)6y2+19y+10；

(7)20－9y－20y2； (8)7(x－1) 2+4(x－1)(y+2)－20(y+2) 2.

答案：

1.(1)(2x+1)(x+1)； (2)(y+2)(2y－3)；

(3)(2x－3)(3x－2); (4)(a－3)(3a+2);

(5)(2x－3y)(3x－y); (6)(2m+n)(2m+3n);

(7)(x－2y)(10x－y); (8)(2m－3n)(4m－5n).

2.(1)(2n－3)(2n+5); (2)(2a+5)(3a－7);

(3)(x+1)(5x-13); (4)(x+3)(4x+3);

(5)(3x－1)(5x+2); (6)(2y+5)(3y+2);

(7)－(4y+5)(5y－4); (8)(x+2y+3)(7x－10y－27).

参考资料：http://www.cbe21.com/subject/maths/printer.php?article_id=269

热心网友 时间：2023-10-23 18:08

双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以

原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕

=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

它表示的是下面三个关系式：

(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；

(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．

这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

例1 分解因式：

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；

(2)x2-y2+5x+3y+4；

(3)xy+y2+x-y-2；

(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．

解 (1)

原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．

(2)

原式=(x+y+1)(x-y+4)．

(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．

原式=(y+1)(x+y-2)．

(4)

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．

说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/22329831.html?si=1