“各边和它所对角的正弦的比相等”适用在什么三角形中?
发布网友
发布时间:2022-05-16 06:26
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热心网友
时间:2023-11-04 10:00
这个叫做“正弦定理” 适用于所有三角形
正弦定理(The Law of Sines)是三角学中的一个基本定理,它指出“在任意一个平面三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”,即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R(R为外接圆半径)。
中文名
正弦定理
外文名
The Law of Sines
别 称
The Sine Law
表达式
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
提出者
韦达(海伦、秦九韶)
提出时间
10世纪
应用学科
数学
适用领域范围
几何
适用领域范围
三角关系
目录
1 定理内容
2 定理证明
3 公式变形
4 定理意义
5 实际应用
定理内容编辑
在任意△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,三角形外接圆的半径为R。则有:
即,在一个三角形中,各边和它所对角的正弦之比相等,该比值等于该三角形外接圆的直径(半径的2倍)长度。[1]
定理证明编辑
示意图(A)
显然,只需证明任意三角形内,任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。
现将△ABC,做其外接圆,设圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。若
1 ∠C为直角,则AB就是⊙O的直径,即c= 2R。[1]
∵
(特殊角正弦函数值)
∴
2 若∠C为锐角或钝角,过B作直径BC`'交 ⊙O于C`,连接C'A,显然BC'= 2R。
∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。∴∠C'AB是直角。
2A 若∠C为锐角,则C'与C落于AB的同侧,此时
∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。
∴∠C'=∠C
∴
,有
。[2]
2B
示意图(B)
若∠C为钝角,则C'与C落于AB的异侧,此时∠C'=180°-∠C,亦可推出
。
在△DAB中,应用正弦函数定义,知
因此,对任意三角形的任一角及其对边,均有上述结论。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边,应用上述结果,分别列式可得
。故对任意三角形,定理得证。[3]
实际上该定理也可以用向量方法证明。[4]
热心网友
时间:2023-11-04 10:00
所有三角形都适用,这是正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。 即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量,是此三角形外接圆的半径的两倍) 这一定理对于任意三角形ABC,都有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆半径