“各边和它所对角的正弦的比相等”适用在什么三角形中?
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发布时间：2022-05-16 06:26
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时间：2023-11-04 10:00
正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R（R为外接圆半径）。
中文名
正弦定理
外文名
The Law of Sines
别 称
The Sine Law
表达式
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
提出者
韦达（海伦、秦九韶）
提出时间
10世纪
应用学科
数学
适用领域范围
几何
适用领域范围
三角关系
目录
1 定理内容
2 定理证明
3 公式变形
4 定理意义
5 实际应用
定理内容编辑
在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。则有：
即，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径（半径的2倍）长度。[1]
定理证明编辑
示意图（A）
显然，只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。
现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。若
1 ∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2R。[1]
∵
（特殊角正弦函数值）
∴
2 若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`'交 ⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2R。
∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。∴∠C'AB是直角。
2A 若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，此时
∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。
∴∠C'=∠C
∴
，有
。[2]
2B
示意图（B）
若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，此时∠C'=180°-∠C，亦可推出
。
在△DAB中，应用正弦函数定义，知
因此，对任意三角形的任一角及其对边，均有上述结论。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，应用上述结果，分别列式可得
。故对任意三角形，定理得证。[3]
实际上该定理也可以用向量方法证明。[4]
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时间：2023-11-04 10:00
