二元关系的定义

发布网友发布时间：2022-05-27 10:28

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热心网友时间：2023-10-16 19:19

集合 X 与集合 Y 上的二元关系是 R=(X, Y, G(R))，其中 G(R)，称为R 的图，是笛卡儿积X × Y的子集。若 (x,y) ∈ G(R) ，则称x 是 R-关系于y ，并记作 xRy 或 R(x,y)。否则称a与b无关系R。
但经常地我们把关系与其图等同起来，即：若 R ⊆ X × Y ，则R 是一个关系。
例子：有四件物件 {球，糖，车，*} 及四个人 {甲，乙，丙，丁}。若甲拥有球，乙拥有糖，及丁拥有车－即无人有*及丙一无所有— 则二元关系"为...拥有"便是
R=({球，糖，车，*}, {甲，乙，丙，丁}, {(球,甲), (糖,乙), (车,丁)})。
其中 R 的首项是物件的集合，次项是人的集合，而末项是由有序对（物件，主人）组成的集合。比如有序对（球，甲）∈G(R)，所以我们可写作"球R甲"，表示球为甲所拥有。
不同的关系可以有相同的图。以下的关系 ({球，糖，车，*}, {甲，乙，丁}, {(球,甲), (糖,乙), (车,丁)} 中人人皆是物主，所以与 R 不同，但两者有相同的图。
话虽如此，我们很多时候索性把R 定义为 G(R)，而 "有序对 (x,y) ∈ G(R)" 亦即是 "(x,y) ∈ R"。
二元关系可看作成二元函数，这种二元函数把输入元 x ∈ X 及 y ∈ Y 视为独立变量并求真伪值（即“有序对(x, y) 是或非二元关系中的一元”此一问题）。
若X=Y，则称 R为 X 上的关系。