设A是m乘n矩阵,齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是什么?
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发布时间：2022-05-27 10:03
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时间：2023-10-16 06:39
齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是：A的列向量组线性无关。
因为根据矩阵相乘的原则，AX的结果，就是A每一行的各个元素分别和X对应的每个元素相乘，然后相加。成为结果向量的对应元素。所以A矩阵的列向量的每个元素都乘相同的x值。
扩展资料：
有命题p、q，如果p推出q且q推出p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。
p推出q，p是q的充分条件，同时q是p的必要条件，此时p是q的子集。
例如：a、b一正一负推出ab<0，ab<0推出a、b一正一负，则a、b一正一负和ab<0互为充要条件。
简单的说就是在证p与q时,前面那个推出后面那个就是充分条件；后面那个推出前面那个就是必要条件；前面能推出后面、后面也能推出前面就是充要条件。
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时间：2023-10-16 06:39
设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX＝0仅有零解的充分必要条件是A的列向量组线性无关。
由线性关系的定义求解。
解：A为m×n矩阵，∴A有m行n列，且方程组有n个未知数
Ax＝0仅有零解⇔A的秩不小于方程组的未知数个数n
∵R（A）＝n⇔A的列秩＝n⇔A的列向量线性无关．
矩阵A有n列，∴A的列向量组线性无关
而A有m行，m可能小于n，此时行向量组线性无关，只能说R（A）＝m，不能证明r（A）≥n。
因此，充分必要条件是A的列向量组线性无关。
扩展资料
线性关系的显著特征是图像为过原点的直线（没有常数项的情况下，如：y＝kx＋jz，（k，j为常数，x，z为变量）；而当图像为不过原点的直线时，函数称为直线关系。
线性关系与直线关系是两不同的，经常被大家搞混淆。
首先每一项（常数项除外）的次数必须是一次的（这是最重要的）。
如：x＝y＋z＋c＋v＋b
那么就说他们（x与y，z，c，v，b都是变量）是线性关系，可以说成：x与y是线性关系，或y与z是线性关系等等，
如果出现平方，开方这些就肯定不是线性关系。
如果每项的次数不是一次就不是线性关系：x＝y＊z（这里假定y，z是变量而不是常数），那么x与y，或x与z就不是线性关系。
常数对是否构成直线关系没影响（假定常数不为0）如：x＝k＊y＋l＊z＋a（k，l是常数，y，z是变量，a是常数）那么x与y，z还是线性的，因为项：k＊y是一次的，l＊z这项也是一次的，常数项a没影响。
如：x=7*y+8*z是线性的，x=－y－2*z是线性的。x=2*y*z是非线性的（因为2yz这一项不是一次的）。
从二维图像来讲（假定只有y跟x这两个变量），线性的方程一定是直线的，曲的不行，有转折的也不行。
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时间：2023-10-16 06:40
A的列向量组线性无关。
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时间：2023-10-16 06:40
因为根据矩阵相乘的原则，AX的结果，就是A每一行的各个元素分别和X对应的每个元素相乘，然后相加。成为结果向量的对应元素。
所以A矩阵的列向量的每个元素都乘相同的x值（即A矩阵的每一列都是相同的未知数）
所以AX其实就是A的每个列向量分别乘以一个系数后，在相加。
现在AX=0只有0解，说明A的各个列向量各乘一个系数相加等于0向量，系数必须都是0，不存在系数不全为0的情况下，相加为0向量的情况。
这本身就是列向量线性无关的定义啊。
所以选A
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时间：2023-10-16 06:41
设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是A的列向量组线性无关。
由线性关系的定义求解。
解：A为m×n矩阵，∴A有m行n列，且方程组有n个未知数
Ax=0仅有零解⇔A的秩不小于方程组的未知数个数n
∵R（A）=n⇔A的列秩=n⇔A的列向量线性无关．
矩阵A有n列，∴A的列向量组线性无关
而A有m行，m可能小于n，此时行向量组线性无关，只能说R（A）=m，不能证明r（A）≥n。
因此，充分必要条件是A的列向量组线性无关。
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函数线性相关的定理
1、向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。
2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。
3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。
4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。
