b^2-4ac这个公式是怎么来的？有什么意义和作用？（关键是推导过程）
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发布时间：2022-05-27 12:09
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时间：2023-10-21 06:52
b^2-4ac根据一般式ax^2+bx+c=0配方得来：
b^2-4ac的具体推导过程：
ax^2+bx+c=0(a≠0)
两边都除以a
得X^2+b/aX+c/a=0
再配方
得X^2+b/aX+（b/2a）^2=-c/a+（b/2a）^2
（X+b/2a）^2=b²-4ac/4a^2
如果b²-4ac大于等于0
X=-b±根号下b^2-4ac/2a
b^2-4ac的意义：
b^2-4ac用来判断一元二次方程的根的个数。
1、当b^2-4ac=0时，方程具有一个实数根。（或两个相等实数根）
2、当b^2-4ac＞0时，方程具有两个不相等实数根。
3、当b^2-4ac＜0时，方程没有实数根。
扩展资料：
根的判别式的具体应用：
1、不解一元二次方程，判断根的情况。
这类问题要先把方程化成一般形式，再计算出判别式，如果不能直接判断判别式情况，就利用配方法把判别式配成含用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断判别式的情况，从而证明出方程根的情况。
2、可以判断抛物线与x轴有几个交点。
1）当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。
2）当Δ=0时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（-b/2a，0）。
3）当 Δ<0时，抛物线与x轴没有交点。
参考资料来源：百度百科-判别式
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时间：2023-10-21 06:52
ax^2 + bx + c = 0将x表示为两个根:x1和x2那么该方程可以表示为:
a(x - x1)(x - x2) = 0展开可得:
ax^2 - a(x1 + x2)x + ax1x2 = 0因为x1和x2是两个根,根据性质可知:x1 + x2 = -b/a, x1x2 = c/a代入方程中得:
ax^2 + bx + c = 0即满足该一元二次方程的两个根x1和x2满足:
x1 + x2 = -b/a
x1x2 = c/a根据判别式:
Δ = b^2 - 4ac1 如果Δ > 0,则方程有两个不同的实数根2 如果Δ = 0,则方程有两个相同的实数根3 如果Δ < 0,则方程有两个不同的虚数根所以,b^2 - 4ac判别式的符号可以判断一元二次方程的根的性质,这就是这个公式的意义所在。
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时间：2023-10-21 06:53
推导过程（网上copy）
ax^2+bx+c=0.(a≠0,^2表示平方)等式两边都除以a,得,
x^2+bx/a+c/a=0,
移项,得：
x^2+bx/a=－c/a,
方程两边都加上一次项系数b/a的一半的平方,即方程两边都加上b^2/4a^2,（配方）得
x^2+bx/a+b^2/4a^2=b^2/4a^2－c/a,
即 （x+b/2a）^2=(b^2-4ac)/4a.
说明：物理应用中a>0,所以b^2-4ac>0 才有实数解
x+b/2a=±[√(b^2-4ac)]/2a.(√表示根号)得：
x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a.
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时间：2023-10-21 06:53
必要性：对于方程a（x^2）+bx+c=0(a≠0)，两边同乘以4a得：
4（a^2）（x^2）+4abx+4ac=0
4（a^2）（x^2）+4abx+b^2=b^2-4ac
(2ax+b)^2=b^2-4ac 若b^2-4ac<0，则(2ax+b)^2<0，可知无解。
充分性：x=(（（b^2-4ac）^(1/2)）-b)/(2a),若方程无解,则x不是实数，又因a不等于0，故b^2-4ac<0
2.证明：b^2-4ac=0的充要条件是方程有且只有一个解。
必要性：对于方程a（x^2）+bx+c=0(a≠0)，两边同乘以4a得：
4（a^2）（x^2）+4abx+4ac=0
4（a^2）（x^2）+4abx+b^2=b^2-4ac
(2ax+b)^2=b^2-4ac
若b^2-4ac=0，则2ax+b=0，故x惟一确定。
充分性：方程ax^2+bx+c=0一定可以化为a（x^2+Бx+д）=0，进而化为a*(x-m1)*(x-m2)=0 （这是显然的）
展开得ax^2-a*(m1+m2)*x+a*m1*m2=0;
与ax^2+bx+c=0比较，显然有：m1+m2=-a/b; m1*m2=c/a;
若两个解相同，则(m1-m2)^2=0;
可化为(m1+m2)^2-4*m1*m2=0,
带入m1+m2=-a/b; m1*m2=c/a; 得（b^2-4ac）/(a^2)=0;由于a不等于0,
故b^2-4ac=0
3.证明：b^2-4ac>0的充要条件是方程有两个不相等的解
@首先证明一元二次方程最多有两个解：假设一元二次方程有三个以上的实根a,b,c,...，
那么此方程可以表示为Б(x-a)(x-b)(x-c)...=0,那么该方程的最高次项的幂一定大于2，与一元二次方程矛盾。所以最多有两个不相等的解。
必要性：若b^2-4ac>0，由1、2两点，方程并非只有一个解，但又非无解，再由@标记的定理，所以有二解
充分性：若有两个解，由1、2两点，b^2-4ac既不小于0也不等于0，故b^2-4ac大于0.证毕。
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时间：2023-10-21 06:54
二次方程是一个以 x 的二次多项式的形式写出的方程。b^2 - 4ac 这部分被称为判别式，它描述了二次方程的根的性质。
推导过程如下：
1. 假设有一个一般形式的二次方程 ax^2 + bx + c = 0。
2. 使用求根公式，根据二次方程的性质，我们可以得到两个根 x1 和 x2：
x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)
x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)
3. 计算 x1 和 x2 的差值：
x1 - x2 = [-b + √(b^2 - 4ac)] / (2a) - [-b - √(b^2 - 4ac)] / (2a)
= (√(b^2 - 4ac) - (-√(b^2 - 4ac))) / (2a)
= (2√(b^2 - 4ac)) / (2a)
= √(b^2 - 4ac) / a
4. 如果我们定义判别式为 D = b^2 - 4ac，根据上面的计算，我们可以得出：
x1 - x2 = √D / a
从这个推导过程中，我们可以看到判别式 b^2 - 4ac 在方程的两个根之间起到关键的作用。它的值可以决定二次方程的根的性质：
1. 如果判别式 D > 0，则方程有两个不等实数根，即方程交叉 x 轴两次。
2. 如果判别式 D = 0，则方程有两个相等的实数根，即方程与 x 轴相切。
3. 如果判别式 D < 0，则方程没有实数解，即方程没有与 x 轴的交点。
因此，判别式 b^2 - 4ac 可以帮助我们判断二次方程的根的性质，并且在解题时起到重要的作用。
