湍流理论的湍流的统计理论
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发布时间：2022-04-22 05:37
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时间：2023-10-05 04:44
研究湍流一般要用统计平均概念。统计的结果是湍流细微结构的平均，描述流体运动的某些概貌，而这些概貌对实际湍流细节应该是适当敏感的，因此可以认为，几乎所有湍流理论（包括上两节所述的理论）都是统计理论，但一般著作中所讲的统计理论实际上是指引进多点相关后的统计理论。 泰勒在20年代初研究湍流扩散时，引进了流场同一点在不同时刻的脉动速度的相关，从而开创了湍流统计理论的研究。这一相关称拉格朗日相关，可描述流动的扩散能力。用扩散系数εd来表示这种能力，则
式中
称为相关系数。知道了拉格朗日相关,就可以算出湍流扩散系数。1935年泰勒又引进同一时刻不同点上速度分量的相关，用以描述湍流脉动场,此即所谓欧拉相关。相应的相关系数
泰勒利用这一类相关研究了一种理想湍流──均匀各向同性湍流。这种量简单的理想化湍流的定义是：平均速度和所有平均量都对空间坐标的平移保持不变，而且各相关函数沿任何方向都是相同的。要在实验室中即使近似地模拟这种湍流也是很困难的。但在这种湍流中，不会有平均流动对脉动的交互作用，也不会有因不均匀性造成的湍能扩散效应和因各向异性造成的湍能重分配效应，因而可以利用这种湍流研究湍能衰减规律和湍流场中各级旋涡间的能量分配和交换规律。由于没有湍能产生和扩散，这种湍流一旦产生就逐渐衰减。泰勒导得湍能的衰减律为:
式中λ为湍流的泰勒微尺度；u为脉动速度。这种湍流的所有二阶速度相关可以由一个纵向相关函数表示
式中l表示P点和P′点间连线的方向；r为两点间的距离；ul(0)、u'l(r)分别为P点和P'点上的脉动速度在l方向的分量;为l方向脉动速度的自相关，称纵向自相关，它的1.5倍就是湍能。卡门和L.豪沃思导出关于f(r)的动力学方程：
式(7)称为卡门-豪沃思方程，它描述相关随时间的变化。解出f就可求出流场的衰减规律。把此方程按r的幂次展开，其第一项就是式(6),以后各项和κ有关。κ为三阶相关系数，它也是未知量，因而方程不封闭。早期的均匀各向同性相关理论就是研究这一方程的各种封闭方法和解的形式。
对uiu'jˉ进行傅里叶变换，得三维能谱函数：
式中k为波数。记E(k,t)=2πk2Eij(k,t)，它也是个三维能谱函数。同卡门－豪沃思方程相对应的能谱方程为：
式中F和三阶速度相关函数有关。因而能谱方程也不封闭，它包含有两个未知量E和F。 将能谱函数E对k积分就得湍能：
因此，E(k,t)dk就是那些波数处于k和dk之间的湍动涡的能量。如图所示,在能谱曲线（E对k的曲线）中，小波数对应于大湍动涡,大波数对应于小湍动涡。对于中间尺度的涡，A.H.柯尔莫戈罗夫给出它的能谱是按k的-5/3次幂变化的，即在图中的惯性子区,能谱曲线可表示为E=Aε2/3k-5/3,式中ε为湍能耗散率。这一形式称为柯尔莫戈罗夫谱定律。大量观察到的数据支持这一定性结果。
对各级湍涡的关系有一种级串观点。湍流一旦形成，总的变化趋势是大涡逐渐向中涡演变，中涡又向小涡演变。反映在能谱曲线的演变上，小k处的E值因大涡减弱而逐渐减小；中k处的E值一方面接受从较小k值区传来的能量,一方面又向较大k值区输送能量,最后因流体粘性的作用，能量在一些微小尺度的涡上转化为热而耗散掉。均匀各向同性湍流的谱理论就是从研究谱方程(8) 的封闭方法来导出能谱曲线的具体形式及其衰减规律的。
1941年,柯尔莫戈罗夫提出局部各向同性概念。他认为实际流动总有边界的影响，因此受边界影响较大的大尺度涡旋的运动不可能是各向同性的，而受边界影响较少的小尺度涡旋则可能是各向同性的。为了消除大涡旋的影响,他研究了相对速度wi=vi-v'i和由此导出的结构函数,并认为由脉动场wi确定的平均性质具有各向同性，因此称这种湍流为局部均匀各向同性湍流。周培源等从另一途径，先解纳维－斯托克斯方程，然后对所得的基元涡进行统计平均来研究均匀各向同性湍流，得出了相关量的衰减规律。此外，也有人开展了均匀剪切湍流的研究。R.H.克赖希南提出了直接相互作用理论；S.格罗斯曼把重正化群论方法引进湍流研究；S.楚格、M.B.刘易斯和B.B.斯特鲁明斯基等开展了湍流的气体动力论研究，但都未取得重要进展。 湍流经过一百多年的研究只得到极少量的定量预测。一、二十年来关于湍流结构的一些新发现，关于由不稳定、分岔而导致混沌的机械系统和数学系统的发现，有可能为理解湍流的发生提供新途径。科学家和工程师们开始更多地考虑湍流机理。但是，这种对机理的思考不会很快地对完全发展的湍流作出彻底的了解，而只可能为构造更精确反映湍流过程基本机理的统计假设提供条件。 建立湍流理论是一个非常艰巨的任务。如今的任务是提高控制不稳定的技术和增强关于湍流统计模式的预测能力，由此推进工业新产品的设计，并且增强对天气和海流等的预报能力。
