高中知识点
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发布时间：2022-04-22 05:29
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时间：2023-09-06 11:11
高三数学备课组
椭
圆
1.
点
P
处的切线
PT
平分△
PF
1
F
2
在点
P
处的
外角
.
2.
PT
平分△
PF
1
F
2
在点
P
处的外角，
则焦点在直线
PT
上的射影
H
点的轨迹是以长轴为直径
的圆，除去长轴的两个端点
.
3.
以焦点弦
PQ
为直径的圆必与对应准线
相离
.
4.
以焦点半径
PF
1
为直径的圆必与以长轴为直径的圆
内切
.
5.
若
0
0
0
(
,
)
P
x
y
在椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
上，则过
0
P
的椭圆的切线方程是
0
0
2
2
1
x
x
y
y
a
b
.
6.
若
0
0
0
(
,
)
P
x
y
在椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
外
，则过
Po
作椭圆的两条切线切点为
P
1
、
P
2
，则切点弦
P
1
P
2
的直线方程是
0
0
2
2
1
x
x
y
y
a
b
.
7.
椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(a
＞
b
＞
0)
的左右焦点分别为
F
1
，
F
2
，
点
P
为椭圆上任意一点
1
2
F
PF
，
则椭圆的焦点角形的面积为
1
2
2
tan
2
F
PF
S
b
.
8.
椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
b
＞
0
）的焦半径公式：
1
0
|
|
M
F
a
ex
,
2
0
|
|
M
F
a
ex
(
1
(
,
0)
F
c
,
2
(
,
0)
F
c
0
0
(
,
)
M
x
y
).
9.
设过椭圆焦点
F
作直线与椭圆相交
P
、
Q
两点，
A
为椭圆长轴上一个顶点，连结
AP
和
AQ
分别交相应于焦点
F
的椭圆准线于
M
、
N
两点，则
MF
⊥
NF.
10.
过椭圆一个焦点
F
的直线与椭圆交于两点
P
、
Q, A
1
、
A
2
为椭圆长轴上的顶点，
A
1
P
和
A
2
Q
交于点
M
，
A
2
P
和
A
1
Q
交于点
N
，则
MF
⊥
NF.
11.
AB
是椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的不平行于对称轴的弦，
M
)
,
(
0
0
y
x
为
AB
的中点，
则
2
2
OM
AB
b
k
k
a
，
即
0
2
0
2
y
a
x
b
K
AB
。
12.
若
0
0
0
(
,
)
P
x
y
在椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
内，
则被
Po
所平分的中点弦的方程是
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
x
x
y
y
x
y
a
b
a
b
.
13.
若
0
0
0
(
,
)
P
x
y
在椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
内，则过
Po
的弦中点的轨迹方程是
2
2
0
0
2
2
2
2
x
x
y
y
x
y
a
b
a
b
.
双曲线
29
1.
点
P
处的切线
PT
平分△
PF
1
F
2
在点
P
处的
内角
.
2.
PT
平分△
PF
1
F
2
在点
P
处的内角，
则焦点在直线
PT
上的射影
H
点的轨迹是以长轴为
直径的圆，除去长轴的两个端点
.
3.
以焦点弦
PQ
为直径的圆必与对应准线
相交
.
4.
以焦点半径
PF
1
为直径的圆必与以实轴为直径的圆
相切
.
（内切：
P
在右支；外切：
P
在左支）
5.
若
0
0
0
(
,
)
P
x
y
在双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
0,b
＞
0
）上，则过
0
P
的双曲线的切线方程是
0
0
2
2
1
x
x
y
y
a
b
.
6.
若
0
0
0
(
,
)
P
x
y
在双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
0,b
＞
0
）
外
，
则过
Po
作双曲线的两条切线切点
为
P
1
、
P
2
，则切点弦
P
1
P
2
的直线方程是
0
0
2
2
1
x
x
y
y
a
b
.
7.
双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
0,b
＞
o
）的左右焦点分别为
F
1
，
F
2
，点
P
为双曲线上任意一
点
1
2
F
PF
，则双曲线的焦点角形的面积为
1
2
2
t
2
F
PF
S
b
co
.
8.
双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
0,b
＞
o
）的焦半径公式：
(
1
(
,
0)
F
c
,
2
(
,
0)
F
c
当
0
0
(
,
)
M
x
y
在右支上时，
1
0
|
|
M
F
ex
a
,
2
0
|
|
M
F
ex
a
.
当
0
0
(
,
)
M
x
y
在左支上时，
1
0
|
|
M
F
ex
a
,
2
0
|
|
M
F
ex
a
9.
设过双曲线焦点
F
作直线与双曲线相交
P
、
Q
两点，
A
为双曲线长轴上一个顶点，
连
结
AP
和
AQ
分别交相应于焦点
F
的双曲线准线于
M
、
N
两点，则
MF
⊥
NF.
10.
过双曲线一个焦点
F
的直线与双曲线交于两点
P
、
Q, A
1
、
A
2
为双曲线实轴上的顶点，
A
1
P
和
A
2
Q
交于点
M
，
A
2
P
和
A
1
Q
交于点
N
，则
MF
⊥
NF.
11.
AB
是双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
0,b
＞
0
）的不平行于对称轴的弦，
M
)
,
(
0
0
y
x
为
AB
的中
点，则
0
2
0
2
y
a
x
b
K
K
AB
OM
，即
0
2
0
2
y
a
x
b
K
AB
。
12.
若
0
0
0
(
,
)
P
x
y
在双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
0,b
＞
0
）内，则被
Po
所平分的中点弦的方程是
30
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
x
x
y
y
x
y
a
b
a
b
.
13.
若
0
0
0
(
,
)
P
x
y
在双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
0,b
＞
0
）内，则过
Po
的弦中点的轨迹方程是
2
2
0
0
2
2
2
2
x
x
y
y
x
y
a
b
a
b
.
椭圆与双曲线的对偶性质
--
（会推导的经典结论）
高三数学备课组
椭
圆
1.
椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
b
＞
o
）的两个顶点为
1
(
,
0)
A
a
,
2
(
,
0)
A
a
，与
y
轴平行的直线交椭
圆于
P
1
、
P
2
时
A
1
P
1
与
A
2
P
2
交点的轨迹方程是
2
2
2
2
1
x
y
a
b
.
2.
过椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(a
＞
0,
b
＞
0)
上任一点
0
0
(
,
)
A
x
y
任意作两条倾斜角互补的直线交椭
圆于
B,C
两点，则直线
BC
有定向且
2
0
2
0
B
C
b
x
k
a
y
（常数）
.
3.
若
P
为椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
b
＞
0
）
上异于长轴端点的任一点
,F
1
, F
2
是焦点
,
1
2
PF
F
,
2
1
PF
F
，则
tan
t
2
2
a
c
co
a
c
.
4.
设椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
b
＞
0
）的两个焦点为
F
1
、
F
2
,P
（异于长轴端点）为椭圆上任意
一点，
在△
PF
1
F
2
中，
记
1
2
F
PF
,
1
2
PF
F
,
1
2
F
F
P
，
则有
sin
sin
sin
c
e
a
.
5.
若椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
b
＞
0
）的左、右焦点分别为
F
1
、
F
2
，左准线为
L
，则当
0
＜
e
≤
2
1
时，可在椭圆上求一点
P
，使得
PF
1
是
P
到对应准线距离
d
与
PF
2
的比例中
项
.
6.
P
为椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
b
＞
0
）上任一点
,F
1
,F
2
为二焦点，
A
为椭圆内一定点，则
2
1
1
2
|
|
|
|
|
|
2
|
|
a
AF
PA
PF
a
AF
,
当且仅当
2
,
,
A
F
P
三点共线时，等号成立
.
31
7.
椭
圆
2
2
0
0
2
2
(
)
(
)
1
x
x
y
y
a
b
与
直
线
0
A
x
B
y
C
有
公
共
点
的
充
要
条
件
是
2
2
2
2
0
0
(
)
A
a
B
b
A
x
B
y
C
.
8.
已知椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
b
＞
0
）
，
O
为坐标原点，
P
、
Q
为椭圆上两动点，
且
OP
OQ
.
（
1
）
2
2
2
2
1
1
1
1
|
|
|
|
OP
OQ
a
b
;
（
2
）
|OP|
2
+|OQ|
2
的最大值为
2
2
2
2
4
a
b
a
b
;
（
3
）
O
P
Q
S
的最小
值是
2
2
2
2
a
b
a
b
.
9.
过椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
b
＞
0
）的右焦点
F
作直线交该椭圆右支于
M,N
两点，弦
MN
的垂直平分线交
x
轴于
P
，则
|
|
|
|
2
PF
e
M
N
.
10.
已知椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
b
＞
0
）
,A
、
B
、是椭圆上的两点，线段
AB
的垂直平分
线与
x
轴相交于点
0
(
,
0)
P
x
,
则
2
2
2
2
0
a
b
a
b
x
a
a
.
11.
设
P
点是椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
b
＞
0
）上异于长轴端点的任一点
,F
1
、
F
2
为其焦点记
1
2
F
PF
，则
(1)
2
1
2
2
|
||
|
1
cos
b
PF
PF
.(2)
1
2
2
tan
2
PF
F
S
b
.
12.
设
A
、
B
是椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
b
＞
0
）
的长轴两端点，
P
是椭圆上的一点，
P
A
B
,
PBA
,
BPA
，
c
、
e
分别是椭圆的半焦距离心率，
则有
(1)
2
2
2
2
2
|
cos
|
|
|
s
ab
PA
a
c
co
.(2)
2
tan
tan
1
e
.(3)
2
2
2
2
2
cot
PAB
a
b
S
b
a
.
13.
已知椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
a
＞
b
＞
0
）的右准线
l
与
x
轴相交于点
E
，过椭圆右焦点
F
的
直线与椭圆相交于
A
、
B
两点
,
点
C
在右准线
l
上，且
BC
x
轴，则直线
AC
经过线段
EF
的中点
.
32
14.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，
与以长轴为直径的圆相交，
则相应交点与相应焦
点的连线必与切线垂直
.
15.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，
则该点与焦点的连线必与焦半
径互相垂直
.
16.
椭圆焦三角形中
,
内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数
e(
离心
率
).
（注
:
在椭圆焦三角形中
,
非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点
.
）
17.
椭圆焦三角形中
,
内心将内点与非焦顶点连线段分成定比
e.
18.
椭圆焦三角形中
,
半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项
.
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时间：2023-09-06 11:12
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时间：2023-09-06 11:12
