如图,已知四棱锥P-ABCD中 几何题
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发布时间：2022-05-29 06:00
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时间：2023-10-09 02:14
∵G为△PAC的重心，∴CG∶GM = 2∶1。
又CF∶FB = 2∶1，∴FG‖BM．
∴FG‖平面PAB。
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，又AB⊥AC，
∴AC⊥平面PAB，∴AC⊥BM。
由（1）已证FG‖BM，∴FG⊥AC。
（3）连结EM，由（2）知FG⊥AC，
∴FG⊥平面AEC的充要条件是FG⊥AE，即BM⊥AE。
∵E、M分别为PB、PA的中点，
∴EM=1/2BA= 1，EM⊥PA．设EA∩BM =H，则EH =1/2HA。
设PA=h, 则EA=1/2PB=1/2√(4+h^2)
EH =1/6√(4+h^2)
∵Rt△AME ∽Rt△MHE，∴EM^2= EH•EA，
∴1 =√(4+h^2)• 1/6√(4+h^2)，
解得h=2√2
在直角梯形ABCD中，由已知可求得AD=√2
∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴PD⊥CD。
∴∠PDA为二面角P－CD－A的平面角，并且二面角的正切值为2。
∴当二面角P－CD－A的正切值为2时，FG⊥平面AEC。
