如何证明一个数是无理数

发布网友发布时间：2022-05-25 13:11

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热心网友时间：2023-10-31 09:14

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。[1] 简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、√2等。也是开方开不尽的数。
而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如22/7等。
例如：π
举例证明方法“
欧几里得《几何原本》中提出了一种证明无理数的经典方法：
证明: √2是无理数
假设√2不是无理数
∴√2是有理
令 √2=p/q (p、q互质)
两边平方得：
2=(p/q)^2
即：
2=p^2/q^2
通过移项，得：
2*q^2=p^2
∴p^2必为偶数
∴p必为偶数
令p=2m

则p^2=4m²
∴2q^2=4m^2
化简得：
q^2=2m^2
∴q^2必为偶数
∴q必为偶数
综上，q和p都是偶数
∴q、p互质，且q、p为偶数
矛盾原假设不成立
∴√2为无理数

热心网友时间：2023-10-31 09:14

例子：证明根号2是无理数：
证明：若根号2是有理数,则设它等于m/n（m、n为不为零的整数,m、n互质）
所以（m/n）^2=根号2 ^2 =2
所以 m^2/n^2=2
所以 m^2=2*n^2
所以 m^2是偶数,设m=2k（k是整数）
所以 m^2=4k^2=2n^2
所以 n^2=2k^2
所以 n是偶数
因为 m、n互质
所以矛盾
所以根号2不是有理数,它是无理数

热心网友时间：2023-10-31 09:15

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