已知F(x)是sinx的一个原函数，F(0)=0，求xF(x)的积分

发布网友发布时间：2022-04-22 03:01

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热心网友时间：2023-11-05 16:41

(-cosx)´=-(-sinx)=sinx,∴-cosx是sinx的一个原函数，
已知F(x)是sinx的一个原函数，
根据原函数的性质，两个原函数之间只相差一个常数，
所以 F(x)-(-cosx)=C0(C0为固定常数)，
式中令x=0得 F(0)+cos0=C0，
已知F(0)=0，所以C0=cos0=1，
所以 F(x)-(-cosx)=1，
所以 F(x)=1-cosx，
∫xF(x)dx
=∫x(1-cosx)dx
=∫xdx-∫xcosxdx
=x²/2-∫xdsinx(分部)
=x²/2-xsinx+∫sinxdx
=x²/2-xsinx-cosx+C (C为任意常数)

热心网友时间：2023-11-05 16:41

显然F(x)=-cosx+1

因为(xsinx)'=sinx+xcosx，所以xsinx=∫sinxdx+∫xcosxdx，
∫xcosxdx=xsinx+cosx+C
那么∫(-xcosx+x)dx=-xsinx-cosx+x^2/2+C

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