微分方程xy'+y(lnx-lny)=0满足条件y(1)=e^3的解为y=___.
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发布时间：2022-05-24 10:13
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热心网友
时间：2023-10-10 14:32
令y/x=u,y=ux
dy/dx=x/dx+u
x/dx+u=ulnu
1/u(lnu-1)=1/xdx
∫1/u(lnu-1)=∫1/xdx
∫1/(lnu-1)d(lnu-1)=ln|x|+ln|c|
ln|lnu-1|=ln|x|+ln|c|
lnu-1=cx
lny/x-1=cx
y/x=e^(cx+1)
y=xe^(cx+1)
e^3=e^(c+1)
c=2
所以
特解为：y=xe^(2x+1)
热心网友
时间：2023-10-10 14:33
let
u=y/x
/dx = y'/x - y/x^2
xy' = x^2./dx + y
=x^2./dx + ux
xy'+y(lnx-lny)=0
xy'-yln(y/x)=0
[x^2./dx + ux] - ux.lnu =0
x./dx + u - ulnu =0
∫/[u(lnu -1)] = ∫dx/x
∫d(lnu-1) /(lnu-1) = ∫dx/x
ln|lnu -1| = ln|x| + C'
y(1)=e^3
=> C' =ln(e^3-1)
ln|lnu -1| = ln|x| +ln(e^3-1)
lnu -1 =(e^3-1)x
lnu =1+(e^3-1)x
u = e^[ 1+(e^3-1)x ]
y/x =e^[ 1+(e^3-1)x ]
y=x.e^[ 1+(e^3-1)x ]
追问谢谢，这个算法我知道，我想知道u=x/y能不能算，怎么算的，如果不能又是为什么
热心网友
时间：2023-10-10 14:33
如上图所示。
热心网友
时间：2023-10-10 14:34
你可知道联合性思维？
