如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，

发布网友发布时间：2022-05-24 15:21

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热心网友时间：2023-10-18 16:34

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），
∴

9a?3b+3＝0

a?b+3＝0

，
解得a=1，b=4，
∴抛物线的解析式为：y=x²+4x+3．

（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x²+4x+3，
∵令x=0，得y=3，
∴C（0，3），
∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴cos∠CAB=

．
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=

12+32

．
如答图1所示，连接O₁B、O₁C，
由圆周角定理得：∠BO₁C=2∠BAC=90°，
∴△BO₁C为等腰直角三角形，
∴⊙O₁的半径O₁B=

BC=

．

（3）存在；
∵抛物线的解析式为：y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，-1），
∴E点的横坐标为-2，
∵A（-3，0），B（-1，0），
∴AB=2，
∵以A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
∴EF=AB=2，
∴F点的横坐标为0或-4，
∴当x=0时，y=3，
∴F₁（0，3）
当x=-4时，y=x²+4x+3=（-4）²+4×（-4）+3=3，
∴F₂（-4，3）
∴存在点F使以A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，F点的坐标为（0，3）或（-4，3）．

（4）抛物线y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴顶点P坐标为（-2，-1），对称轴为x=-2．
又∵A（-3，0），B（-1，0），可知点A、B关于对称轴x=-2对称．
如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，
∴D（-4，3）．
又∵点M为BD中点，B（-1，0），
∴M（-

，

），
∴BM=

【?

?(?1)】2+(

)2=

；
在△BPC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3），
由两点间的距离公式得：BP=

，BC=

，PC=2

．
∵△BMN∽△BPC，
∴

═

，即

，
解得：BN=

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