扩展欧几里得算法 好懂一点
发布网友
发布时间：2022-05-26 15:32
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时间：2023-10-24 15:49
定理：*(a,b) = *(b,a
mod b)
证明：a可以表示成a = kb +
r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a,
d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a
mod b)的公约数
假设d 是(b,a
mod b)的公约数，则
d | b , d
|r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod
b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：
int
Gcd(int a, int b)
{
if(b ==
0)
return a;
return
Gcd(b, a % b);
}
当然你也可以写成迭代形式：
int
Gcd(int a, int b)
{
while(b !=
0)
{
int r = b;
b = a % b;
a =
r;
}
return
a;
}
本质上都是用的上面那个原理。
补充:
扩展欧几里德算法是用来在已知a,
b求解一组x，y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使
用C++的实现：
int
exGcd(int a, int b, int &x, int
&y)
{
if(b ==
0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r =
exGcd(b, a % b, x, y);
int t =
x;
x =
y;
y = t - a
/ b * y;
return
r;
}
把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a' = b,
b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
由于b' = a
% b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:
a'x + b'y
= Gcd(a', b') ===>
bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b)
===>
ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是
y和(x-a/b*y).
在网上看了很多关于不定方程方程求解的问题，可都没有说全，都只说了一部分，看了好多之后才真正弄清楚不定方程的求解全过程，步骤如下：
求a * x
+ b * y = n的整数解。
1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a'
* x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;
2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' *
y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；
3、根据数论中的相关定理，可得方程a'
* x + b' * y = n'的所有整数解为：
x = n' * x0 + b' * t
y = n' * y0 - a' * t
(t为整数)
上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。
步骤如下：
扩展欧几里德算法－求解不定方程，线性同余方程：
解不定方程ax + by = n的步骤如下:
(1)计算*(a, b). 若*(a, b)不能整除n，则方程无整数解；否则，在方程的两边同除以*(a, b)，
得到新的不定方程a'x + b'y = n'，此时*(a', b') = 1
(2)求出不定方程a'x + b'y = 1的一组整数解x0, y0，则n'x0，n'y0是方程a'x + b'y = n'的一组整数解。
(3)根据&@^%W#&定理，可得方程a'x + b'y = n'的所有整数解为：
x = n'x0 + b't
y = n'y0 - a't
(t为整数)
这也就是方程ax + by = n的所有整数解
利用扩展的欧几里德算法，计算*(a, b)和满足d = *(a, b) = ax0 + by0的x0和y0，
也就是求出了满足a'x0 + b'y0 = 1的一组整数解。因此可得：
x = n/d * x0 + b/d * t
y = n/d * y0 - a/d * t
(t是整数)
program oujilide;
var i,j,a,b,c,d,x,y:longint;
function *(a,b:longint):longint;
var i:longint;
begin
if a=0 then exit(b);
if b=0 then exit(a);
*:=*(b,a mod b);
end;
procere extend_*(a,b:longint;var x,y:longint);
var i,j:longint;
begin
if b=0 then
begin
x:=1;
y:=0;
exit
end;
extend_*(b,a mod b,x,y);
i:=x;
x:=y;
y:=i-(a div b)*x;
end;
begin
assign(input,'oujilide.in');
reset(input);
assign(output,'oujilide.out');
rewrite(output);
read(a,b,c);
d:=*(a,b);
if c mod d=0 then begin a:=a div d; b:=b div d; c:=c div d; end
else begin writeln('No answer!'); exit; end;
extend_*(a,b,x,y);
x:=c*x;
y:=c*y;
writeln(x,' ',y);
end.追问还不是很清楚，不过谢谢了
